电动力学2教案.doc

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1、第二章静电场本章主要研究静电场的一些求解方法。由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，因此一般都是采用引入电势来求解。因此，本章首先引进静电场的标量势函数—电势并讨论电势的一些基本特性。然后讨论静电势方程的几种求解方法—分离变量法、镜象法、格林函数法以及电荷在小区域分布时的近似求解方法。静电场的基本特点静电场：静止电荷产生的磁场；特点：①，，静电场可单独存在。②等均与t无关③不考虑永久磁体（）基本方程：,；边值关系：,。求介质分界面上的束缚电荷用：[则]电磁性质方程：①均匀各向同性线性介质：②静电平衡时的导体：导体内部：。外部表面：电荷分布在表面上，电场处处垂直于导体表面。§2.1静电势及其

2、微分方程一．静电场的标势1．静电势的引入：因为静电场为无旋场,即，所以可以引入标量函数，引入后——静电场标势（简称电势）。①的选择不唯一，相差一个常数，只要知道即可确定②取负号是为了与电磁学讨论一致③满足迭加原理二．静电势的微分方程和边值关系1．满足的方程泊松方程：其中仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。导出过程：拉普拉斯方程：（适用于的区域）。2．边值关系（S为分界面）（由1→2）(1)两介质交接面上边值关系证明：（a）P→Q积分为零，所以即。（b）（为自由面电荷分布）由∵∴（1）导体表面上的边值关系由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质

3、与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系：三．静电场的能量1．一般方程：能量密度（均匀各向同性线性介质）总能量2．若已知总能量为，但不代表能量密度。导出过程：∵∽∽∴，该公式只适合于静电场情况，能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。§2.2唯一性定理一．泊松方程和边界条件VS假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。设V内所求电势为，它们满足泊松方程泊松方程或拉普拉斯方程（区域）的解有多种形式，要确定且唯一确定V内电场，必须给出边界条件。在数学上这称为给定边值条件的求解问题：一般边界条件有两类：①边界S上，为

4、已知，若为导体=常数为已知。②边界S上，为已知，若是导体要给定总电荷Q。它相当于给定（）。内边界条件由边值关系给出：法线方向，在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体上下边界条件为外边界条件。对于V内两介质分界面上。一．唯一性定理1．均匀单一介质当区域内分布已知，满足，若V边界上已知，或V边界上已知，则V内场（静电场）唯一确定。1．介质分区均匀（不包含导体）V内已知，成立，给定区域或Q1Q2在分界面上，或则V内场唯一确定。（证明见书P．60）2．均匀单一介质中有导体（证明见书P．62）导体中，要求的是内的场。QSS当和，已知或，（，）为已知，则内场唯一。确定，或。二．唯

5、一性定理的意义（1）唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求指明了方向。（2）更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，我们可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是提出尝试解，只要满足方程和边界条件即为所求的解，若不满足，可以加以修改。三．应用举例1．两种均匀介质（和）充满空间，一半径a的带电Q导体球放在介质分界面上（球心在界面上），求空间电势分布。解：外边界为无穷远，电荷分布在有限远导体上Q给定，所以球外场唯一确定对称性分析：若，则（回到上例结果）。若，从直观看似乎不再具有球对称性，而是

6、具有轴对称。但是实际情况并非如此。由于无论在介质1还是介质2，导体外表面电场均与表面垂直，因此在P点必然与重合，所以介质分界面上，而。在介质分界面上：所以没有束缚电荷分布，束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。而在介质分界面上，所以可考虑球外电场仍具有球对称性。设试探解：确定常数：在介质分界面上∴∵∴下半空间上半空间导体球面上面电荷分布：下半球面上均匀分布上半球面上均匀分布束缚电荷分布：从这里可以看出，电荷在整个球面上是不均匀分布的。这种非均匀分布造成场的均匀分布。从物理机制看：当导体放入介质时，一开始均匀分布，产生的场是非球

7、对称场，它在介质中产生束缚电荷，束缚电荷也产生一个场，但总场不满足静电场唯一性定理，因此导体表面电荷要重新分布。达到静电平衡时，球外场均匀分布，满足唯一性定理，这时电荷分布不再是均匀的。§2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法一拉普拉斯方程的适用条件1．空间处处，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。2．在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分