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1、电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射v1.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分写出E和vB的这两部分在真空所满足的方程式并证明电场的无旋部分对应于库仑场解在真空中的麦克斯韦方程组是vvv∂Bvv∂E∇×E=−∇×B=µJ+εµ000∂t∂tvρv∇⋅E=,∇⋅B=0ε0如果把此方程组中所有的矢量都分解为无旋的纵场用角标L表示无散的横场用角标T表示vvvvv那么E=E+E且∇×E=0∇⋅E=0LTLTvvvJ=J+JLTvvvvvB=B+B由于∇×B=0即B无源场不存在纵场
2、分量亦是说LTvvvB,则B=BLT代入上面麦氏方程组vv∂B1>∇×E=−∂tvvvvvv∂BT∇×(E+E)=∇×E+∇×E=∇×E=−LTLTT∂tvρvvvvvρ2>∇⋅E=∇⋅(E+E)=∇⋅E+∇⋅E=∇⋅E=εLTLTLε00vvv∂Evvv∂vv3>∇×B=µJ+εµ∇×B=µ(J+J)+εµ(E+E)000T0LT00LT∂t∂tvvv∂Ev∂ETL=(µJ+εµ)+(µJ+εµ0T000L00∂t∂tv若两边同时取散度∇⋅(∇×B)=0Tvv∂ET∇⋅(µJ+εµ)=00T00∂t-1-电
3、动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射vv∂EL∴当且仅当µJ+εµ0时上式方成立0L00∂t综上得麦氏方程的新表示方法vv∂BTvρ∇×E=−∇⋅E=TLε∂t0vvvv∂Ev∂EvTL∇×B=µJ+εµµJ+εµ0B=0T0=T000L00L∂t∂t证明电场的无旋部分对应库仑场vρ电场的无旋部分表达式为∇⋅E=Lε0vρ2引入E=−∇ϕ于是有∇ϕ=−此泊松方程的解即是静止Lε0v电荷在真空中产生的电势分布那么E即对应静止电荷产生的库仑场Lr2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中若ρ=0,J=0,则E和B可完
4、全由矢势A决定若取ϕ=0,这时A满足哪两个方程v解在线性各向同性均匀非导电介质中如果令J=0,ρ=0麦氏方程表示为vvv∂Bv∂Dvv∇×E=−;∇×H=∇⋅D=0∇⋅B=0∂t∂tvvvvB其中D=εEH=µvvvv由∇⋅B=0引入矢势A使B=∇×Avvvv则∇⋅B=∇⋅(∇×A)=0故B由矢势A完全决定vvvv∂B把B=∇×A代入∇×E=−;有∂tvvvv∂Av∂Av∂A∇×(E+)=0令E+=−∇ϕ则∇×(E+)=∇×(−∇ϕ)=0∂t∂t∂tvv∂Avv则E=−∂ϕ−故E有标势A完全决定∂t-2-电动
5、力学习题解答参考第五章电磁波的辐射vvvv∂D如果取ϕ=0有B=∇×A代入方程∇×H=∂tvv∂AvE=−∇⋅D=0∂tvvv∂Dv∂E有1>∇×H=∇×B=εµ∂t∂tvv∂∂A⇒∇×(∇×A)=−εµ()∂t∂tvv∂2A⇒∇×(∇×A)+εµ=02∂tv∂v2>∇⋅D=0(∇⋅A)=0∂tvv1∂ϕ由于取ϕ=0库仑规范∇⋅A=0与洛伦兹规范∇⋅A+=0相同2c∂tv∴由1>2>得A满足的方程有v∇⋅A=0vv∂2A2∇A−εµ=0∂tv3.证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势A(ωτ)表示其中τ=t−
6、zA垂直于zc轴方向vv证对于沿z轴传播的任意一平面电磁波E,B可写作vvi(kz−ωt)E=Eee0xvvi(kz−ωt)B=Bee0yvvv满足1E,B均垂直于传播方向ezvvvvv2E,B相互垂直E×B沿k方向vv3E,B同相振幅比为υ真空中为czvv−iω(t−)vi(kz−ωt)ω故不妨取A=Aeec=Aee,k=0x0xc-3-电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射vv∂Axvvi(kz−ωt)∴B=∇×A=e=ikAee1y0y∂zv∂Avi(kz−ωt)E=−=iωAee20x∂t可见如果令k
7、A=B,ωA=E表达式12可表示的波正是符合条件的平面波0000所以命题得证vvvvikv⋅xv*−ikv⋅xv4.设真空中矢势A(x,t)可用复数傅立叶展开为A(x,t)=∑[ak(t)e+ak(t)e],其中kv*va是a的复共轭kk2vvdak(t)22v1证明a满足谐振子方程+kca(t)=0k2kdtvvv2当选取规范∇⋅A=0,ϕ=0时证明k⋅a=0kvvvv*3把E和B用a和a表示出来kkvvvikv⋅xvv*−ikv⋅xv解1证明QA(x,t)=∑[ak(t)e+ak(t)e]k∴根据傅立叶级
8、数得正交性必有vvvikv⋅xvva(t)=A(x,t)edxk∫22vvdak(t)∂A(x,t)ikv⋅xvv∴=edx12∫2dt∂tvvv1∂2Av2而洛仑兹变换时矢势A满足方程∇A−=−µJ220c∂tvvv1∂2A2在真空中J=0故∇A=22c∂t2vdak(t)ikv⋅xv22vv∴1式化为=e(c∇A)dx2∫dt22v22vvikv⋅xvv而kca(t)=kcA(x,t)edxk∫
