中考二轮复习专题汇编：《圆的综合》.doc

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1、中考二轮复习：《圆的综合》1．如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DCB；（2）已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠BAD+∠ABD＝90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP＝90°，即∠PBD+∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠PBD，又∵∠BAD＝∠DCB，∴∠PBD＝∠DCB；（2）解：连接OC，如图：∵＝，AB是直径，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵OA＝4，E是半径OA的中点，∴AE＝OE＝OA＝2，∴CE＝＝＝2，BE＝OB+OE＝6，∵∠

2、A＝∠C、∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴＝，∴AE•BE＝CE•DE．即2×6＝2×DE，解得：DE＝．2．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）证明：∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝

3、∠DMO，∵OD＝OM，∴∠DMO＝∠MDO，∴∠DOP＝∠POC，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP（SAS），∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6，∵，∴，∴AP＝18，∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，∵O是MC的中点，∴，∴点P是BC的中点，∴PB＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝

4、2DP＝12，MC＝6，∴BM＝＝＝6，∵△BCM∽△CDM，∴，即，∴DM＝2．3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B（3，2），边CB上一点E（1，2），P是y轴正半轴上一动点，过O，P，E三点的⊙M交x轴于点F．（1）在点P的整个运动过程中，①当⊙M与边BC相切时，则P点的纵坐标为　（0，）　．②连结PE，EF，PF，tan∠PFE的值始终是　　．（2）当矩形OABC恰好有2个顶点落在⊙M上时，求P点坐标．（3）若点O，H关于点M成中心对称，连结EH，BH．当△BEH是等腰三角形时，写出所有符合条件的P点坐标．解：（1）①如图1中，连接EM，OM，作MG⊥OC于G．设EM

5、＝OM＝r．∵BC是⊙M的切线，∴∠MEC＝90°，∵∠ECG＝∠MGC＝90°，∴四边形EMGC是矩形，∴EC＝MG，EM＝CG，∵B（3，2），E（1，2），∴OC＝3，EC＝MG＝1，∵MG⊥OP，∴OG＝OP，在Rt△OMG中，∵OM2＝MG2+OG2，∴r2＝12+（2﹣r）2，∴r＝，∴OG＝OC﹣CG＝2﹣＝，∴OP＝2OG＝．故答案为（0，）②如图2中，连接OE．∵∠EFP＝∠EOP，∵∠OCE＝90°，EC＝1，OC＝2，∴tan∠ECO＝＝，∴tan∠EFP＝tan∠EOC＝，故答案为．（2）如图2﹣1中，当⊙M经过点C时，P（0，2）．如图2﹣2中，当⊙M经过点A时，

6、∵∠PCE＝∠PEA＝∠B＝90°，∴∠CEP+∠BEA＝90°，∠BEA+∠BAE＝90°，∴∠CEP＝∠EAB，∴△PCE∽△EBA，∴＝，∴＝，∴PC＝1，OP＝1，∴P（0，1）．如图2﹣3中，当⊙M经过点B时，作FG⊥CB交CB的延长线于G，∵△PCE∽△EGF，∴＝＝，根据对称性BG＝CG＝1，CG＝3，可得PC＝1.5，∴OP＝0.5，∴P（0，0.5），综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，2）或（0，1）或（0，0.5）．（3）如图3﹣1中，当HE＝HB时，连接FH，延长FH交BC于N．∵OH是直径，∴∠OFH＝90°，∵BC∥OA，∴∠FNC＝180°﹣90°＝90°，

7、∴FN⊥EB，∵HE＝BH，∴EN＝BN＝1，∵∠PCE＝∠FNE＝90°，∠PEC＝∠EFN，∴△PCE∽△ENF，∴＝，∴＝，∴PC＝，∴OP＝，∴P（0，）．如图3﹣2中，当BE＝BH时，连接PH．由题意四边形OPHF，四边形PCNH都是矩形，根据对称性可知EC＝BN＝1，EN＝2+1＝3，FN＝2，∴△PCE∽△ENF，∴＝，∴＝∴PC＝或0，∴OP＝，∴P（0，）．如图3﹣3中，当EH＝BE时，∵△PCE∽△E