（讲练测）九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质（讲练）（含解析）（新版）新人教版.docx

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1、24.1圆的有关性质（讲练）一、知识点1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论(1)

2、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应

3、的其余各组量都分别相等．4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.二、标准例题：例1：如图，⊙的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，∴∵在Rt△OAH中，OA=3

4、，∴故选．总结：本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键.例2：如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，连接OA，OB，BD，若∠AOB＝100°，则∠ABD＝________度。【答案】25°【解析】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=50°，∴∠ABD=∠AOD=25°．总结：本题考查了垂径定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．例3：已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是的三等分点，OC，OD

5、分别与AB相交于点E，F．求证：CD＝AE＝BF．【答案】见解析【解析】连接AC、BD，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵C，D是的三等分点，∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，∴△AOC≌△COD，∴∠ACO=∠OCD，∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD==75°，∴∠OEF＝∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC＝∠OCD，∴∠ACO＝∠AEC．故AC＝AE，同理，BF＝BD．又∵AC＝CD＝BD∴CD＝AE＝BF

6、．总结：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．例4：如图，是半圆的直径，为弦，为弧的中点，于点，交于点，交于点.求证：.【答案】见解析.【解析】∵为弧的中点，∴∠B=∠CAF，∵是半圆的直径，∴，∴.∵，∴，∴.∴.∵是的中点，∴.∴，∴.总结：本题考查圆周角定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质.三、练习1.在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（）A．这两条弦所对的弦心距相

7、等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦所对的弧相等D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分【答案】D【解析】A.这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B.这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C.这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；D.这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确；故选D.2．如图，BD是⊙O的直径，圆周角∠A=30°，则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．80°【答案】C【解析】解：如图，连接CD，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°

8、，∴∠D=∠A=30°，∴∠CBD=90°-∠D=60°．故选：C．3．已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距