同角三角函数的基本关系式基础.doc

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1、1.3同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式:，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：(2)商数关系：(3)倒数关系：，，要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)是的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，

2、应注意“”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形：，2．商数关系式的变形。【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．若，且是第三象限角，求cos，tan的值。【思路点拨】由求，可利用公式，同时要注意角所在的象限。【答案】【解析】∵，是第三象限，∴，。【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函

3、数值以字母a给出，应就所在象限讨论。举一反三：【变式1】已知，求cos，tan的值。【解析】因为，所以是第三或第四象限角。由sin2+cos2=1得。当是第三象限角时，cos＜0，于是，从而；当是第四象限角时，cos＞0，于是，从而。类型二：利用同角关系求值例2．已知：求：（1）的值；（2）的值；（3）的值；（4）及的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。【答案】（1）（2）（3）0（4）或【解析】（1）由已知（2）（3）（4

4、）由，解得或【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。举一反三：【变式1】已知，求下列各式的值：（1）tan+cot；（2）sin3－cos3。【解析】由两边平方得。（1）。（2）。例3．已知：，求：（1）；（2）；（3）。【解析】（1）原式=（2）原式=（3）原式====【总结升华】已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos≠0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代

5、入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如asin2+bsincos+ccos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。举一反三：【变式1】（2015春甘肃会宁县期中）已知（1）求sin和cos的值；（2）求的值．【解析】（1），∴是第一或第三象限角，当是第一象限角时，结合，有；当是第三象限角时，结合，有；（2）∵，，∴原式．类型三：利用同角关系化简三角函数式例4．（2015秋湖北青山区期末）（1）化简：；（2）已知为第二象限角，化

6、简．【思路点拨】（1）根号下利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用二次根式的化简公式化简，约分即可得到结果；（2）根号中的式子分子分母乘以分子，利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式计算，约分后计算即可得到结果．【答案】（1）－1；（2）【解析】（1）∵0＜20°＜45°，∴cos20°＞0，sin20°－cos20°＞0，则原式；（2）∵为第二象限角，∴cos＜0，sin＞0，则原式．举一反三：【变式1】化简（1）；（2）；【答案】（1）－1（2）【解析】（1）原式=（2）原式=类型

7、四：利用同角关系证明三角恒等式例5．求证：（1）；（2）。【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。【证明】（1）左边=右边，∴原等式成立。（2）左边=右边，∴原等式成立。【总结升华】（1）在三角式的化简中，常常“化切为弦”，以减少函数种类。（2）三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，灵活运用所学知识，本题也可从右到左证明。举一反三：【变式】求证：.【解析】证法一：由题意知，所以.∴左边=右边.∴原式成立.证法二：由题意知，所以.

8、又∵，∴.证法三：由题意知，所以.，∴.【巩固练习】1.下面四个命题中可能成立的一个是（　）A.B.sinα=0且cosα=－1C.tanα=1且cosα=－1D.α在第二象限时，tanα=2．若，，则m的值为（）A．0B．8C．0或8D．3＜m＜93．若，则使成立的的取值范围是()A、B、C、D、4．若，且是第二象限角，则tan的值等于（）A．B．C．D．5．（2015呼和浩特一模）已知，则（）A．B．C．D．6．已知sinαcosα=,则cosα－sinα的值等于（）A．±B．