考点2圆锥曲线中的弦长问题.doc

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1、考点二　圆锥曲线中的弦长问题【例2】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．解　(1)由题意得解得b＝.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝.所以

2、MN

3、＝＝＝.又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所

4、以△AMN的面积为S＝

5、MN

6、·d＝.由＝，解得k＝±1.规律方法直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．【训练2】(2013·新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ABCD面积的最大值．解　(1

7、)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P0(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，＝－1，由此可得＝－＝1.因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝.所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)．所以a2＝2b2，又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.所以a2＝6，b2＝3.所以M的方程为＋＝1.(2)将x＋y－＝0代入＋＝1，解得或所以可得

8、AB

9、＝；由题意可设直线CD方程为y＝x＋m，所以设C(x3，y3)，D(x4，y4)，将y＝x＋m代入＋＝1得3x2＋4mx＋

10、2m2－6＝0，则

11、CD

12、＝＝，又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3

13、CD

14、取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为

15、AB

16、·

17、CD

18、＝.