资源描述：
《浅析圆锥曲线中的相交弦问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、cos。1+cos^sin20可得/=b-_Ia2l+cos〃浅析圆锥曲线中的相交弦问题徐加生关于圆锥曲线中的相交弦有三种常见的表现形式，即两弦相交成直角、两相交弦倾斜角互补、三弦纽成特殊的三角形。下面分类举例，阐述帘用的求解策略，供参考。一、两弦相交成直角X2V2例1・己知椭圆—+-v=l（c/>Z?>0）与X轴止方向交于点A,若这个椭圆上有点P,使a~b~ZOPA=90°（0为原点），求椭圆离心率的范围。解析：设P（acos0,bsinO）,则—>—>OP=(tzcosftZ?sin0),AP=(acosO-a,bsin〃)。山ZOPA=90
2、°,则OP•AP=0即dcosO(dcosO-d)+(Z?sin0)2=°,rrirb2cos&(cos&—1)斯以一f=cr因为cos&g(-L1)所以1+COS0+00)I所以幺~G（—,1）,即幺G（,1）o22注：两向最垂冇的坐标公式的运用为成功解题选择了捷径。例2・（2004年湖北卷）已知直线/：y=kx+1与双曲线C：2.?—y2=1的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的収值范围；（2）是否存在实数匕使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求岀R的值；若不存在，说明理曲。解析：（1）将直线/的方程尸滋+1代入双曲
3、线C的方程2兀2_）,2=1后，整理得伙2—2)/+2也+2=0①依题意，直线/与双曲线C的右支交于不同的两点A、B,且A=(2Q2_8伙2_2)>0解联立不等式纽得k的取值范围为（一2,-V2）o（2）假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）,则FA丄FB,代入前式整理得伙2+1）“2+伙一°（坷+勺）+°+1=°5/+2血一6=0又-与2,—0）不合，舍去。所以£=符合题意。5注：用斜率的关系是解决两冇-线垂直的有力武器，不町忽视。例3・（2000年春季高考北京卷）设点A和B为抛物线）Q=4px（p>0）上原点
4、以外的两个动点，己知OA丄OB,OM丄AB于M,求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线°解析：依题意,设A（x,,戸）,B（x2,y2）,则乂OA丄OB，得x{x2+y{y2=0化简得=-16p2o所以克线AB的方程为令y=0,并将％儿=一16//代入得x=4p9即直线AB与x轴交于定点Q（4p,0）。又OM丄AB,山平面几何由I识得：动点M的轨迹是以线段OQ为直径，以点（2p,0）为圆心的圆，其方程为x2+y2-4px=0（xH0）注：利用平而儿何知识将两弦乖直与以线段为直径的圆相互转化也是常用的策略。二、两相交弦倾斜角互补例4.（2004年高
5、考北京卷）过抛物线于=2/7x（/?>0）上一定点P（兀（），y（））（y（）>0）,作两条克线分别交抛物线于A（X,,%）、B（X2,儿）。（1）求该抛物线上纵坐标为彳的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求匸+乜的值,并证明直线AB的斜率是非零曲数。圧义得所求距离为（2）illy,2=2px},=2px{）,相减得（J
6、-）'（））（）'+儿）=2p（»-Ao）,故kpA=—一—=——一（兀］工兀（））儿一竝Vi+Vn同理可得褊B（兀2工兀0）儿+儿111PA与PB倾斜角互补知kPA=-kpB故q==—一—=———
7、（兀］工左）。兀2一山戸+）'2所以+y2=一2治-2儿ill=2pX,y}=2px2,将x+*=_2）d代入得0=-丄，所以直线AB的斜率是非零常数。注：将两相交弦倾斜角互补转化为斜率互为相反数，利用等量关系列式求解。例5・如图1,已知A,B,C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O,RAC•BC=（）,IBCI=2IACIo（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数―—>几使=请给出证明。解析：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴
8、建立如图直角坐标系，则A（2,0）,腹方程可设为*V2——+==l（ovb<2）。4b2ifUO为椭圆中心，山対称性知OC=OB又AC•BC=0,所以AC丄BC—»—>又IBCI=2IACI,所以10CI=IACI,4所以AAOC为等腰直角三角形，所以点C坐标为（1,Do将（1,1）代入椭圆方程得，,3%23v2则椭圆方程为一+丄=1。44（2）山直线CP、CQ与x轴鬧成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为匕则直线CQ的斜率为T,直线CP的方程为y=k（x-）,直线CQ的方程为y=—饥兀―1）。山椭圆方程与直线CP的方程联立，消
9、去y得(1+3宀2一6心-》+3鸟2一6£-1=0①因为C(1,1)在椭圆上，所以x=l是方程①的一个根，于是3/一6£-1Xp—~1+
