高中数学浅析圆锥曲线中的相交弦问题专题辅导

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1、高中数学浅析圆锥曲线中的相交弦问题徐加生关于圆锥Illi线中的相交弦有三种常见的表现形式，即两弦相交成直角、两相交弦倾斜角互补、三弦组成特殊的三角形。下面分类举例，阐述常用的求解策略，供参考。一、两弦相交成直角22例1.已知椭圆二+厶~=1(。>b>0)与X轴正方向交于点A,若这个椭圆上有点P,a~b~使Z0PA=90°(0为原点)，求椭圆离心率的范围。解析：设P(acos0,bsin&),贝UOP=(acos。,bsin0),AP=(acos0-a,Z?sin&)。-9-9由Z0PA=90o,则OP•AP=0Wacos0{acos-cz)+(/?sin2=0,j2所以冬:erco

2、s&(cos&-1)COS&sin20l+cos&可得/二-1—戸-1a21+cosO因为cos&w(-L1)所以g)乂0v«vl,1/y所以/G(—,1)f即£W(,1)o22注：两向最垂肓的坐标公式的运用为成功解题选择了捷径。例2.(2004年湖北卷)已知直线y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B。(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双1111线C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。解析：(1)将肓线/的方程y=kx+1代入双111］线C的方程2x2-y2=1后，整理得伙—2)兀2+2匕+2=0

3、①依题意，直线/与双Illi线C的右支交于不同的两点A、B,设AO】，yj,B(x2,y2)；则/一2工0且厶=(2£)2一8伙2一2)>0n2kn.nXi+——-—>o'-k2-22n.x,x2解联立不等式组得k的取值范围为(一2,-V2)o(2)假设存在实数k,使得以线段AB为肓径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0),.Vi)‘2则FA丄FB,所以kfb==_1，x}-cx2-c即（兀I—c）（>2—c）+y』2=0又J】=/a】+1,y2=也？+1，代入前式整理得（k2+1）旺兀2+伙一c）（兀1+勺）+c?+1=0将Xj4-X7=当一,兀］X,=—Rc=—代入，化简得-k-

4、-2k--225k2+2娅-6=0伽如l-一腐土6解fj-k—o5又=与Rw（_2,—血）不合，舍去。所以k=符合题意。注：用斜率的关系是解决两宜线垂肓的有力武器，不可忽视。例3.（2000年春季高考北京卷）设点A和B为抛物线y2=4px（p>0）上原点以外的两个动点，已知0A丄OB,0M丄AB于M,求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解析：依题意，设AO］，兀），3（^2，儿），贝UX.=丄L,x2=丄丄014p〜4p又0A丄0B,得x{x2+yxy2=022即牛务+）心0化简得儿『2=-16"2。而5=3=半，山一兀2儿+『2所以直线AB的方程为y-y产」M-乎）。X+儿4

5、〃令y=o,并将y}y2=-16/?2代入得x=4pf即直线AB与x轴交于定点Q（4p,0）。又OM±AB,由平而几何知识得：动点M的轨迹是以线段0Q为直径，以点（2p,0）为圆心的圆，其方程为x2+y2-4/7X=0（兀H0）注：利用平面儿何知识将两弦垂直与以线段为直径的圆相互转化也是常用的策略。二、两相交弦倾斜角互补例4.（2004年高考北京卷）过抛物线）卫=2px（p>0）±—定点P（兀°,>,0）（y0>0）,作两条直线分别交抛物线于A（“，风）、B（勺，力）。（1）求该抛物线上纵处标为彳的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求A的值,>0并证明

6、肓线AB的斜率是非零常数。解析：（1）当y=P-时，X=P-。又抛物线y2=2px的准线方程为x=-上,由抛282物线定义得所求距离为P（P、5p828（2）由=2/?%!,y：=2pr（）,相减得（X一儿）（）'+儿）=2卩（“一心），故=儿_儿=2p（“知0）"一兀0）?i+儿同理町得你〃=2/?（x2工心）y2+儿由PA与PB倾斜角互补知kpA=—kpB,所以+）?2=一2儿，—一—=-2儿由>7=2卩旺‘y-2px2‘故忍B=—=2"（小工兀2）。兀2一山”+儿将久+儿=-2儿，代入得%=-必，所以直线AB的斜率是非零常数。注：将两相交弦倾斜角互补转化为斜率互为相反数，利

7、用等量关系列式求解。例5•如图1,已知A,B,C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点,BC过椭―>—>—>—>圆中心0,且AC•BC=0,BC=2ACO（1）建立适当的处标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQMx轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数A^PQ=AAB?请给出证明。y才r8^-ZL^q.p图1解析：（1）以0为原点，0A所在的直线为x轴建立如图直角坐标系，则A（2,0）,椭圆方程可设为2,2^+2_=1（0<