2.1.4数乘向量 课件(人教b版必修4)

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1、2.1.4数乘向量1.实数与向量的积的定义实数λ与向量a的积是个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下:

2、λa

3、=

4、λ

5、·

6、a

7、;当时,λa与a的方向相同;当时,λa与a的方向相反;当时,λa=0.λ>0λ<0λ=02.数乘向量的运算律设λ、μ为实数,则:(1)(λ+μ)a=;(2)λ(μa)=;(3)λ(a+b)=(分配律).λa+μb(λμ)aλa+λb重点:数乘向量运算的概念、运算律及数乘运算的几何意义.难点:正确运用数乘向量的定义、法则进行向量的线性运算.1.向量数乘的几何意义(1)当

8、λ

9、>1时,有

10、λa

11、>

12、a

13、,这意味着表示向量a的有

14、向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长到原来的

15、λ

16、倍.(2)当0<

17、λ

18、<1时,有

19、λa

20、<

21、a

22、,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上缩短为原来的

23、λ

24、倍.2.实数与向量的积满足的运算律设λ、u是实数,则有(1)λ(ua)=(λu)a,(结合律)(2)(λ+u)a=λa+ua,(第一分配律)(3)λ(a+b)=λa+λb,(第二分配律)3.向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的,我们就说这个向量c可以用另一些向量线性

25、表示,如c=2a+3b,称c可由a、b线性表示.[例1](1)化简6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b);(2)把满足3x-2y=a,-4x+3y=b的向量x,y用a,b表示出来.[分析]求解的依据是运算律,采用与代数式的运算相似的方法.[分析]本例中已知条件没有涉及方向,但欲求结果中却涉及了方向.因此,解答此类问题,要把握好从单一的长度要素向长度、方向双重要素的过渡.[答案]①②③④[例4]判断正误:若λa=0,则a=0(λ∈R).[误解]正确[辨析]λa=0的一种情况是a=0,另一种情况是λ=0.[正解]不正确,要注意0与任意一个向

26、量的积还是一个向量,为0,而不是数0.[答案]B[解析]λμ<0知λ,μ符号相反.[答案]C[答案]B4.已知m、n为非零实数,a、b为非零向量,则下列各项中正确的个数为()①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.A.4B.3C.2D.1[答案]A[解析]①②由数乘的运算法则可知正确.ma-mb=m(a-b)=0∵m≠0,∴a-b=0即a=b,∴③正确.ma-na=(m-n)a=0∵a≠0,∴m-n=0,∴m=n,∴④正确.二、填空题5.已知向量a、b不共线,实数x、y满足向量等式

27、5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=________,y=________.[答案]3-46.若

28、a

29、=m,b与a的方向相反,且

30、b

31、=2,则a=________b.

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