数列综合问题选讲.doc

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1、数列的小结与复习教学目标(一)知识点数列，等差数列，等差数列前项的和，等比数列，等比数列前项的和，研究性课题(分期付款中的有关计算).(二)能力训练要求1.理解数列的概念，能用函数的观点认识数列，了解数列的通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写出数列的任意一项，会根据数列的递推公式写出数列的前几项.2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前项的和公式，并能运用公式解决一些问题.3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和前项的和公式，并能运用公式解决一些问题.(三)德育渗透目标1.提高学生的

2、逻辑推理能力.2.增强学生的应用意识.3.提高分析问题、解决问题的能力.教学重点突出本章重、难点内容.教学难点通过例题分析突出等差数列与等比数列的区别与联系.教学方法自学辅导法在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、公式的熟悉程度.教学过程【复习回顾】前面一段时间，我们一起学习了数列的有关知识，并掌握了一定的分析问题解决问题的方法这一节我们对本章进行小结与复习.首先我们来看数列知识的网络结构1.本章知识网络结构2.本章重点及难点数列的概念①数列就是按一定的次序排列着

3、的一列数，从函数观点来看，数列是定义在或其子集（）上的函数，当自变量从开始依次取正整数时所对应的一列函数值：，，，…，，…按照一定标准，可对数列进行适当的分类.②数列可用三种方法来表示：列表法、解析法、图象法.③通项公式和递推公式是给出一个数列的两种重要方法④数列的前项和，与的关系可表示为等差数列①定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，用表示.用数学式子表示就是（）.②通项公式：.③前项和公式：.等比数列①定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项

4、的比值都等于同一个常数，就称这个数列为等比数列，这个常数叫做公比，用表示.用数学式子表示就是（）.②通项公式.③前项和公式：.思想方法本章涉及到的主要思想方法有：函数与方程的思想、转化与化归的思想、逻辑划分的思想、数形结合的思想即整体思想.【例题分析】下面我们通过对例题的分析来进一步熟悉数列知识的应用.例1求证：在中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比为：：：.证明：(1)必要性假定直角三角形三条边的长成等差数列，将这三条边的长从小到大排列，则可表示为，，，这里，.由勾股定理得.∴，从而知三边长依次为，，.

5、因此这三条边的长的比是：：.(2)充分性如果直角三角形三条边的长的比为：：，那么可设（），因为，，∴，即，，成等差数列.综上所述，命题得证.例2已知数列是由正数组成的等比数列，，求证：.证法一设的公比为，则.证法二设的公比为，则，是一个与无关的常数，∴数列，，…，是等差数列，∴例3已知数列中，是它的前项和，并且，（1）设，求证数列是等比数列；（2）设，求证数列是等差数列.证明：（1）∵∴，∵两式相减得：即：∵∴即是公比为2的等比数列（2）∵∴将代入：∴成等差数列.例4设数列满足，，（），其中、为实数，且.（1）求

6、数列的通项公式；（2）设，（），求数列的前项和.解：（1）法一：∵，∴当时，数列是首项为，公比为的等比数列，∴.当时，也满足上式，∴数列的通项公式是（）.法二：由题设得：当时，，∴数列的通项公式是（）.（2）由（1）得，于是，两式相减得到∴.例5某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年的一半，设此池塘里原来的鱼储存量为.（1）写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第年与第年（，）的产量之间的关系式（不要求证明）.（2）由于存在池塘老化及环境污

7、染因素，估计每年将损失年产量的10%。照这样下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高的？若是请给出证明；若不是，请说明从第几年起，产量将不如上年？（参考数据：lg2＝0.3010,lg3＝0.4771）解：（1）不妨设改进技术后第年的产量为，则，，，.以此（，）.（2）设遭损失后第年的产量为，则，，，…，（）.令即，即，，即∵，∴.从第6年起，产量将不如上一年.【课堂练习】1.设数列为等差数列，且，试求.解：，∴，由已知，，∴，.说明：本题只给了一个条件，无法同时求出和，从而数列不能完全确定.因此不能通过一般的先求

8、出再求，但根据目标，并由项的序号的特殊性联想到等差数列的性质：如果，且，那么，则可以从整体上得到的值，这样就变得可求了.所以，等差数列或等比数列中，一方面要注意抓好基本量，或，，另一方面还要注意方程思想的运用，同时整体代入的思想也应重视.2.设数列为等比数列，，（），数列的前项和为，且，又最大，求数列的公比的取值范围.解：在等比数列中，，又（），（），即是一个以为首项，为