第二讲 递推数列与数列综合问题.doc

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1、知识专题设计展示第二讲　　递推数列与数列综合问题一、考点梳理：1、数列通项公式的求法公式法、叠加法、叠乘法、构造新数列（待定系数法）、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法2、数列求和分解转化倒序相加错位相减裂项相消3、数列与不等式、归纳法；数列与函数、导数；数列与解析几何等知识的交汇二、经典例题：例1、在数列中，.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为.方法总结：叠加法、叠乘法是求数列通项公式的重要方法，是高考考查的热点。变式延伸：设计思路：与叠加法、叠乘法一样，高考中

2、对根据递推关系来构造新的（等差或等比）数列获得问题突破和解决的考查更是将能力考查提高到一个新高度，以增强试题的区分度。其中，对及求通项的情形需要我们认真对待。1、已知数列满足，，则；2、已知数列满足，，则；3、已知数列满足，则；4、已知数列中，.（Ⅰ）设数列满足，求证数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设数列满足，求数列的前项和为。例2、已知数列中，，且当时，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记.（1）求极限；（2）对一切正整数，不等式恒成立，求的最小值．方法总结：对二阶线形递推数列，一般采用构造新

3、数列、迭代或利用特征根的方法来求得数列通项。本题集构造新数列（或迭代）、新定义（新情景）、数列极限、不等式恒成立、数学归纳法等于一体，对数学思维素养要求颇高。变式延伸：设计思路：完善型（尤其是）等递推关系中通项的求法1、已知数列满足，则；2、已知数列满足，则；3、（2009年江西卷22题）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有（1）当时，求通项；例3、已知数列，，（）.记数列前项和为，.（1）求证：；（2）；（3）.方法总结：数列型不等式的证明通常数学归纳法、比较法、综合分析法、放缩法等方法，其中，对放

4、缩法的要求往往很高，需要有很高的理性思维能力。变式延伸：设计思路：常见的放缩方法值得我们去总结、归纳，进而逐步形成优秀学生对不等式放缩的一些解题经验。1、数列前项和为，（常数），对任意，.（1）求的值；（2）试确定数列是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；（3）令，证明：．2、设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。3、已知数列，

5、若点在过且以为方向向量的直线上，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：（其中为自然对数的底数）；（Ⅲ）记（其中），数列的前项和为，求证：．4、已知函数，数列的第一项，以后各项如下方式取定：曲线在点处的切线与经过(0，0)和两点的直线平行（如图），求证：当时，（I）；（II）.反思与小结