单摆的最大偏角问题.doc

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1、单摆最大偏角问题的讨论单摆的最大偏角问题的分析摘要：在人教社2001年出版的高一物理新教材中，将单摆的最大偏角由以前的5°改为了10°，本文通过计算相对误差证明了这一改变的合理性。关键词：最大偏角、相对误差二○○一年夏天，人教社出版的高一物理新教材相对于以往的旧教材而言，可以说有着脱胎换骨的变化。当然，这些变化也受到了广大教育人士的欢迎，比如说：教材缩小了初高中的台阶；更注重贯彻了全面发展的教育方针；首次将“树立创新意识”作为一种教学目的；首次在中学教材中提出了研究性学习和倡导开展课题研究；等等。这些都是从大的方面来说的，从细节上来说，也有很多的细小的变化，主要是指一些习惯

2、说法、表示物理量的符合和一些定义等等，这些细小的变化对于一些老师来说，特别是一些有多年教学经验的老教师来说，可能还有些不习惯和不太能接受，但是，只要是认真比较和推敲，不难看出这些细小的变化也有一定的理由或者说是必要性。在这里，笔者就想就其中的一个小问题和大家加以探讨，那就是关于单摆最大偏角问题。细心的老师不难发现：在新教材中，单摆最大偏角由以前的5°改为了10°。对于这一改动有的老师（包括笔者自己最初）可能还存有异议：单摆之所以存在最大偏角问题，就是因为在高中阶段单摆是作为一种做简谐运动的物理模型出现的，而单摆的摆动可以被近似看作简谐运动的前提条件就是摆角足够小，而现在将摆

3、角最大值比原来增大了一倍，单摆还能被近似看作简谐运动吗？为此，笔者作了以下分析。单摆近似做简谐运动的证明如下：如右图所示，当摆球运动到任一点P点时，重力Ｇ沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力F＝G1＝mgsinθ。在偏角θ很小时，sinθ≈θ，摆球的位移与弧长L近似相等x≈L，所以有回复力F＝－mgsinθ≈mgθ≈mgx/L，-2-单摆最大偏角问题的讨论令mg/L＝k，则上式可以写为F＝－kx可见，在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，即单摆做简谐运动。由以上证明不难看出，问题的

4、关键就是当θ在什么范围内时，sinθ可以近似等于θ，为了证明这一点，我们可以先来看看以下两组数据：表一角度0°5°10°15°20°sinθ00.0871560.1736480.2588190.342020θ00.0872660.1745330.2617990.349065相对误差0%0.13%0.51%1.14%2.02%表二角度0°5°10°15°20°x（m）10.0872380.1743120.2610520.347296l（m）10.0872660.1745330.2617990.349065相对误差0%0.032%0.126%0.285%0.507%从上表的数据

5、不难看出，随着θ的不断增大，上面用到的两个近似的相对误差都不断增大，但是，在高中物理中，在不精确计算的情况下，通常相对误差在1%以内的误差都是可以忽略不计的。因此，笔者认为，单摆的最大偏角取10°时，它的两个近似的相对误差分别是0.51%和0.126%均在1%以内，相对于θ取5°来说，只是精确度有所下降，但这是完全可以接受的。-2-