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1、第二章矩阵各节内容讲解§2·1矩阵的概念§2·2矩阵的运算§2·3几种特殊矩阵§2·4n阶方阵的行列式§2·5逆矩阵§2·6矩阵的初等变换和初等矩阵§2·7矩阵的秩§2·8分块矩阵2·1矩阵的概念排成的一个m行n列的数表称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵。矩阵的第i行j列元素定义由m×n个数例如2×4矩阵3×3矩阵矩阵常用的记号：大写英文字母A,B,C,…A2×4=(aij)3×3=(aij)Am×n(aij)m×n特别地当m=1时，称为n阶方阵称为行矩阵当n=1时，称为列矩阵当m=n=1时，可视为普
2、通数来处理当m=n时，称为零矩阵，记为或O记为或E当时对n阶方阵A=(aij),若：即称为单位矩阵，对矩阵A=(aij)，称(-aij)为矩阵A的负矩阵，记为-A即矩阵概念与行列式概念的区别：一个行列式代表一个数一个矩阵代表一个数据表格例如而表示一个数表2、二者记号不同：行列式用,矩阵用（）。3、行列式的行数和列数必须相同，而矩阵的行数与列数可以不同。例对m×n线性方程组把方程组中系数及常数项按原来次序取出，作一个矩阵m×(n+1)增广矩阵（*）则线性方程组（*）与之间的关系是1-1对应的=B把未知量的系
3、数按原来次序拿出来作一个矩阵m×n=A系数矩阵把常数列按原来次序拿出来作一个矩阵m×1=常数矩阵把未知量拿出来作一个矩阵n×1=X未知量矩阵2·2矩阵运算定义若两个有相同行数和相同列数的矩阵满足则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B.例如：若且A=B则有c=0;a=-1;b=2;d=3.一、矩阵的加法定义由矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)m×n的各对应元素相加而得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和。记为：A+B即简记为：例如矩阵加法的性质：（1）A+B=B+A（2）(A+B)+C=A+(B+C)（3）
4、A+O=A（4）A+(-A)=A-A=O矩阵的减法：例如二、数与矩阵的乘法（简称数乘）定义由常数k乘以矩阵Am×n的每个元素而得到的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，简称数乘。记为kA数乘的性质：设A,B,O均为m×n矩阵，k,t为常数,则(1)k(A+B)=kA+kB(2)(k+t)A=kA+tA(3)(kt)A=k(tA)=t(kA)(4)1A=A(5)0A=O(6)若k≠0,A≠O,则kA≠O例2求矩阵X，使3A+2X=3B。其中解由3A+2X=3B解得:2X=3B-3A即所以三、矩阵与矩阵的乘法定义设
5、矩阵，，由元素构成的矩阵称为矩阵A与矩阵B的乘积。记为C=AB.i行j列即:关于矩阵乘法的说明：1.只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相同时，AB才有意义.2.C的行数=第一个矩阵A的行数C的列数=第二个矩阵B的列数例3设,求AB.解注：此题BA无意义因为○○例4设,求AB.解注此题BA有意义,BA是一个数例5,,求AB.解注：此题BA有意义但AB与BA的行列数不同例6设,求AB.解注：(1)此题BA有意义,BA与AB行列数相同,但AB≠BA(2)BA=O,但B≠O,且A≠O例7设求：AB,AC
6、.解注：此题AB=AC,且A≠O,但B≠C矩阵乘法与实数乘法的比较：(1)实数乘法满足交换率。即ab=ba矩阵乘法不满足交换率。即AB≠BA(2)实数乘法满足消去率。即：若ab=ac,且a≠0,则有b=c,矩阵乘法不满足消去率即：由AB=AC,且A≠O,不能得出B=C.(3)在实数乘法中，若ab=0,可推出a=0或b=0,在矩阵乘法中，由AB=O不能推出A=O或B=O.矩阵乘法的性质：(1)A(BC)=(AB)C(2)t(AB)=(tA)B=A(tB)(3)(A+B)C=AC+BC(4)A(B+C)=AB
7、+AC(5)AE=EA=A注意：在性质（5）中，若A是m×n矩阵，则AE中的E为En,而EA中的E为Em对m×n线性方程组取，，所以线性方程组即AX=B可表示为：定义设A为n阶方阵，k为正整数，k个A的连乘积称为方阵A的k次幂。记为：Ak即例如：则方幂的性质：注意：（1）只有当A为n阶方阵时，才有方幂的概念。（2）（AB)k≠AkBkⅰ）Ak和Bk可能无意义例如有意义，但Ak、Bk无意义ⅱ）由于乘法不满足交换率注意：中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的元素四、矩阵的转置定义将矩阵A的行列互换得到的矩阵
8、，称为矩A的转置矩阵，简称转置。即若则记为或转置的性质：（1）（2）（3）（4）例如：则，一般情况下例8设矩阵求解法一：解法二：二、矩阵的加（减）法三、数与矩阵的乘法（简称数乘）矩阵的运算小结一、矩阵相等4、矩阵的乘积：设矩阵，，注意：(1)矩阵乘法不满足交换率，即：AB≠BA(2)矩阵乘法不满足消去率，即：由AB=AC，且A≠O,不能得出B=C。(3)在矩阵乘法中，由AB=O不能推出A=O或B=O这里：5、方阵的幂：设A为n
