函数导数请出来-论文.pdf

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1、黄桂君函数是贯穿于高中数学内容的主线之题转化为其图象与轴交点的个数问题．这一，也是高中数学最基本的研究对象．函数个函数的图象怎样?自然想到导数这个工与不等式、方程、数列等有着密切的联系．有具(导数意识)．了导数这个工具，我们研究函数、探索问题构建函数厂(z)，运用导数研究厂(z)的就如虎添翼，马到成功!但我们在数学学习单调性与极值，易知函数的图象与．27轴仅有中，常常遇到一些似乎与函数或导数无关的1个交点(数形结合，函数的极大值与极小值问题，这时如果注意构建函数并运用导数工都是负数)，所以实根的个数是1

2、．这种思想、具来处理，往往会柳暗花明．也就是说，我们意识就是我们需要培养、训练的数学素养．需要树立函数思想与导数意识．问题2函数厂(z)一丢z+sinz在一r0，27c]上的最大值是．、函数与导数相得益彰函数解析式很简单，让你无法再变形思想与意识是看不见的，在解决问题(对于这类问题，习惯上先考虑变形，设法将时，它们就冒出来啦!下面请你随我来研究其化归为熟悉的函数再求解)．遇到困难无几个问题，看看函数思想和导数意识所在何从下手时怎么办?不要忘了利用导数帮忙处，函数与导数如何相得益彰．试试(考试时没有人提醒

3、你)，因为导数可以反映函数的变化趋势．问题1方程zs一6zz+9z一1o一0的实数根的个数是．由f(z)===o，得z一，z。一，歹0表，最初的想法即常规的思路应该是解这比较得-厂m(z)：f(2n)一7c．个方程，解出来几个根就回答几．但这是个一元三次方程，一方面我们不要求掌握其一问题3是否存在实数n，6(0<口<6)，般公式解法，且用因式分解转化为一元一次使口一b?如果存在，试写出口的取值范围；或二次方程有一定的难度．再说本题仅问根如果不存在，请说明理由．的个数，而不要求写出具体根，因此这就逼乍一看

4、到这个问题，真不知如何下手．着我们思考：如何不通过解方程而知道其解如果说问题2还可通过猜想蒙上的话，这个的个数呢?不难联想到与方程对应的函数问题连蒙都困难，且似乎跟函数、导数又扯厂(z)一。一6z。+9z一10(函数思想)，将问不上关系．．．『I_．事P5~rewire，"sity~Etm‘[b(amiMtio___，斓让我们一起探索试试：若存在a一b，则<(≥2且EN*)．有lna一lnb，blna—alnb(将指数拿下来会根据解决上述问题的经验，加上不等式使式子变得简单些，所以想到两边取对数；作差或

5、作商都没有什么实质性的突破)．再知识，我们有了一,AA：g：由于一．．变形为一Ina=_lnb(式子两边分别为关于lu-j一“车4⋯⋯，所以可以尝试证明<，z个字母的相同结构的代数式)，这容易联想到厂(a)一f(6)，所以自然就水到渠成构造(≥2)，即lnn<一1(≥2)．构造函函数．厂(z)：．数_厂(z)一lnx一(z一1)(z>1)，求导得下面来研究这个函数的性质(单调性、f()一÷一1<0，所以厂(z)<厂(1)一0，图象等)，同样容易想到导数(函数与导数通即有lnx~x-1(z>1)成立，尝试

6、成功．常是相辅相成的)．因为f(z)一—i-tn—x，所Z函数与导数相映成趣以易知厂(z)在(0，e)上单调递增，在(e，+。。)上单调递减，这样厂(z)有一个极1度蔫1在诱导公式sin(一z)一大值f(e)===÷．如图1所示，因而存在实数一sin两边分别对z求导，可得诱导公式a，b，当1

7、inz与l＼0cos(rr+x)一一cosz，sin(号+z)COSz与c。s(号+z)一一sinin2x一2sinc。s图1与COS2x—COS．121sin。z等，两边对z求导，变；式已知6>a>e，求证：ab>．则可互求而得．思；路1同上，构造函数厂(z)一，若将卢看成常数，a看成变量，在公式sin(a+)一sinacosJ8+COSasin卢两边对口根据-厂(z)在(e．，+。。)上单调递减可得证．求导，则可得COS(a+)一COScos—思路2不妨设厂(6)一blna—alnbsinasin；

8、反之，在COS(a+卢)一COSacos一(这里把a看成常数，b看成变量，6>e)，则sinasin口两边对a求导，又可得sin(a+f1)一厂(6)一lna-a，因为6>n>e，所以lnasingCOS卢+c0sOgSin．应用已知圆的面积s=兀，则s1，a<1，所以_厂(6)>0，f(6)在一27cr，为圆的周长；球的体积V一÷7cr。，则(e，+C×3)上单调递增，所以厂(6)>f(口)一0，blna>alnb，即n>．V=4nr。，