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《高一三角函数的图像与性质知识点及习题.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、三角函数的图象与性质基础梳理1.“五点法”描图(1)y=sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) (π,0) (2π,0)(2)y=cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1),,(π,-1),,(2π,1)2.三角函数的图象和性质函数性质y=sinxy=cosxy=tanx定义域RR{x
2、x≠kπ+,k∈Z}图象值域[-1,1][-1,1]R对称性对称轴:x=kπ+(k∈Z);对称中心:(kπ,0)(k∈Z)对称轴:x=kπ(k∈Z);对称中心:(kπ+,0)(k∈Z)对称中心:
3、_(k∈Z)周期2π_ 2π π单调性单调增区间_[2kπ-,2kπ+](k∈Z)___;单调减区间[2kπ+,2kπ+](k∈Z)__单调增区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)____;单调减区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)______单调增区间_(kπ-,kπ+)(k∈Z)___奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正
4、周期(函数的周期一般指最小正周期)函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.4.求三角函数值域(最值)的方法:(1)利用sinx、cosx的有界性;由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于∀x∈R,恒有-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1,所以1叫做y=sinx,y=cosx的上确界,-1叫做y=sinx,y=cosx的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;含参
5、数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.(3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性,如:y=sin2x-4sinx+5,令t=sinx(
6、t
7、≤1),则y=(t-2)2+1≥1,解法错误.5.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出x所在的区间.应特别注意,应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系
8、数的正负号)(1)y=sin;(2)y=sin.练习题:1.函数y=cos,x∈R( ).A.是奇函数B.既不是奇函数也不是偶函数C.是偶函数D.既是奇函数又是偶函数2.函数y=tan的定义域为( ).A.B.C.D.3.函数y=sin(2x+)的图象的对称轴方程可能是()A.x=-B.x=-C.x=D.x=4.y=sin的图象的一个对称中心是( ).A.(-π,0)B.C.D.5.下列区间是函数y=2
9、cosx
10、的单调递减区间的是( )A.(0,π) B. C.D.6.已知函数f(x)=sin(2x+φ
11、),其中φ为实数,若f(x)≤
12、f()
13、对任意x∈R恒成立,且f()>f(π),则f(x)的单调递增区间是()A.[kπ-,kπ+](k∈Z)B.[kπ,kπ+](k∈Z)C.[kπ+,kπ+](k∈Z)D.[kπ-,kπ](k∈Z)【解析】当x∈R时,f(x)≤
14、f()
15、恒成立,∴f()=sin(+φ)=±1可得φ=2kπ+或φ=2kπ-,k∈Z∵f()=sin(π+φ)=-sinφ>f(π)=sin(2π+φ)=sinφ∴sinφ<0∴φ=2kπ-由-+2kπ≤2x-≤+2kπ得x∈[kπ+,kπ+](k∈Z),选C
16、.7.函数f(x)=cosx∈R的最小正周期为________.8..y=2-3cos的最大值为________,此时x=______________.题型一 与三角函数有关的函数定义域问题例1 求下列函数的定义域:(1)y=.要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为.(2)求函数的定义域.⇒利用数轴可得图②∴函数的定义域是{x
17、018、<或π≤x≤4}.题型二三角函数图象与解析式的相互转化例2函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.求f(x)的解析式;【解析】(1)由图可知A=2,=,则=4×∴ω=.又f(-)=2sin[×(-)+φ]=2sin(-+φ)=0∴sin(φ-)=0∵0<φ<,∴-<φ