2013年湖南高考理科数学试卷(带详解).doc

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【测量目标】复数乘法的运算法则,复数集与复平面上的点对应关系.【考查方式】利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】复数对应复平面上的点是该点位于第二象限.2.某学校有男、

2、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际案例，判断其解决问题的方法属于四种抽样方法的哪一种.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法.3.在锐角中，角所对的边长分别为.若则角等于（）A．B．C．D．【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出三角形中的边角关系，运用正弦定理求解未知角.【难易程

3、度】容易【参考答案】D【试题解析】在中，(为的外接圆半径).（步骤1）,（步骤2）又为锐角三角形，.（步骤3）4.若变量满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．D．【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】利用线性规划知识求目标函数的最值问题.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】根据不等式组作出其平面区域，令结合的特征求解.不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，（步骤1）平行移动可知该直线经过与的交点时，有最大值为.（步骤2）第4题图5.函数的图象与函数的图象的交点个数为（）A．3B．2C．1D．0【测量目标】函数图象的应用.【考查

4、方式】先作出常见函数图象再确定其图象交点个数.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】又当时，（步骤1）在同一直角坐标系内画出函数与的图象，如图所示，可知与有2个不同的交点.（步骤2）第5题图6.已知是单位向量，.若向量满足则的取值范围是（）A．B．C．D．【测量目标】向量数量积的运算及定义、向量加法的几何意义.【考查方式】将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律以及向量数量积定义的求解.【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】由题意，不妨令，由得，（步骤1）可看做到原点的距离，而点在以为圆心，以1为半径的圆上．（步骤2）如图所示，当点在位置时

5、到原点的距离最近，在位置时最远，而，故选A．（步骤3）第6题图7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．B．C．D．【测量目标】空间几何体三视图.【考查方式】根据正方体的正视图的形状来求解其面积值.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为，如图所示．故正视图的面积为，∴，而，故面积不可能等于.第7题图8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到点（如图）.若光线经过的重心，则等于（）第8题图A．B．C．D．【测量目标】直线的

6、斜率，直线的方程.【考查方式】已知一个三角形的边长关系，建立平面直角坐标系求解未知边的值.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)．（步骤1）设△ABC的重心为D，则D点坐标为.设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1为(－m,0)，（步骤2）因为直线BC方程为x＋y－4＝0，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4－m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴，即，（步骤3）解得，m＝或m＝0.当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．

7、∴.（步骤4）第8题图二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系中，若(为参数)，过椭圆C（为参数）的右顶点，则常数.【测量目标】参数方程的转化，椭圆的简单几何性质.【考查方式】先将参数方程化为普通方程后求解，再运用椭圆的简单几何性质求出未知参数.【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为，（步骤1）所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a，解得a＝3.（步骤2

8、）10.已知则的最小值为.【测量目标】柯西不等式，最值问题.【考查方式】使用柯西不等式化简式子