M 推理与证明 (理科).doc

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1、M 推理与证明M1 合情推理与演绎推理11.M1[2012·陕西卷]观察下列不等式1+<,1++<,1+++<,……照此规律,第五个不等式为______________.11.1+++++<[解析]本小题主要考查了归纳与推理的能力,解题的关键是对给出的几个事例分析,找出规律,推出所要的结果.从几个不等式左边分析,可得出第五个式子的左边为:1+++++,对几个不等式右边分析,其分母依次为:2,3,4,所以第5个式子的分母应为6,而其分子依次为:3,5,7,所以第5个式子的分子应为11,所以第5个式子应为:

2、1+++++<.13.M1[2012·湖北卷]回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则(1)4位回文数有________个;(2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个.13.(1)90 (2)9×10n[解析]由题意,1位回文数有9个,2位回文数有9个,3位回文数有90=9×10个,4位回文数有1001,1111,12

3、21,…,1991,2002,…,9999,共90个,故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等,均为9×10n个.16.M1[2012·湖南卷]设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,…,xN依次放入编号为1,2,…,N的N个位置,得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为C变换.将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到P2;当2≤i≤n-2时,

4、将Pi分成2i段,每段个数,并对每段作C变换,得到Pi+1.例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N=16时,x7位于P2中的第________个位置;(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第________个位置.16.(1)6 (2)3×2n-4+11[解析]考查合情推理,以新定义题型为载体,依据排列,考查考生的逻辑推理能力,要求学生的想象能力相当出色.(1)由已知可得P1=x1x3x5x7x9x11x13x15…,P2=x1x

5、5x9x13x3x7x11x15…,故x7位于P2中的第6个位置;(2)当i=1时,P1的排列中x173的位置是=87位;9/9当i=2时,P2的排列中x173的位置是=44位;当i=3时,P3的排列中x173的位置是+=2n-3+22位;当i=4时,P4的排列中x173的位置是2n-3+=2n-3+2n-4+11=3×2n-4+11位.6.M1[2012·江西卷]观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=(  )A.28B.76C

6、.123D.1996.C[解析]考查归纳推理,以及观察能力;解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系.由于a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,通过观察发现,从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和.因此,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123,故选C.M2 直接证明与间接证明23.M2、D1[2012·上海卷]对于

7、数集X={-1,x1,x2,…,xn},其中0<x1<x2<…<xn,n≥2,定义向量集Y={a

8、a=(s,t),s∈X,t∈X},若对任意a1∈Y,存在a2∈Y,使得a1·a2=0,则称X具有性质P,例如{-1,1,2}具有性质P.(1)若x>2,且{-1,1,2,x}具有性质P,求x的值;(2)若X具有性质P,求证:1∈X,且当xn>1时,x1=1;(3)若X具有性质P,且x1=1、x2=q(q为常数),求有穷数列x1,x2,…,xn的通项公式.23.解:(1)选取a1=(x,2),Y中与a1垂直的

9、元素必有形式(-1,b),所以x=2b,从而x=4.(2)证明:取a1=(x1,x1)∈Y,设a2=(s,t)∈Y,满足a1·a2=0.由(s+t)x1=0得s+t=0,所以s,t异号.因为-1是X中唯一的负数,所以s,t之中一个为-1,另一个为1,故1∈X.假设xk=1,其中1<k<n,则0<x1<1<xn.选取a1=(x1,xn)∈Y,并设a2=(s,t)∈Y满足a1·a2=0,即sx1+txn=0,则s,t异号,从而s,t之中恰有一个

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