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时间:2020-08-02
《2015年高考数学(理科)真题分类汇编M单元 推理与证明.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学M单元 推理与证明M1 合情推理与演绎推理11.M1[2015·山东卷]观察下列各式:C=40;C+C=41;C+C+C=42;C+C+C+C=43;……照此规律,当n∈N*时,C+C+C+…+C=________.11.4n-1 [解析]归纳可知,C+C+C+…+C=4n-1.M2 直接证明与间接证明16.[2015·湖南卷]N1(1)选修41:几何证明选讲如图15,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F.证明:(i)∠MEN+∠NOM=180°;(ii)FE·FN=FM·FO.图15N3(2)选修44:坐标系与参数方程已知直线l
2、:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(i)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(ii)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求
3、MA
4、·
5、MB
6、的值.N4、M2(3)选修45:不等式选讲设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(i)a+b≥2;(ii)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.16.(1)证明:(i)如图所示,因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OM⊥AB,ON⊥CD,即∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+∠ENO=180°.又四边形的内角和等于360°,故∠ME
7、N+∠NOM=180°.(ii)由(i)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FE·FN=FM·FO.(2)解:(i)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ.①将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②(ii)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义知,
8、MA
9、·
10、MB
11、=
12、t1t2
13、=18.(3)证明:由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(i)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2(当且仅当a=b时等号成立),即a+b≥2.(ii)假设a2+a<2与b2+b<2同时
14、成立,则由a2+a<2及a>0,得00,函数f(x)=eaxsinx(x∈[0,+∞)).记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(1)数列{f(xn)}是等比数列;(2)若a≥,则对一切n∈N*,xn<
15、f(xn)
16、恒成立.21.证明:(1)f′(x)=aeaxsinx+eaxcosx=eax(asinx+cosx)=eaxsin(x+φ),其中tanφ=,0<φ<.令f′(x)=0,由x≥0,得x+φ=m
17、π,即x=mπ-φ,m∈N*.对k∈N,若2kπ0;若(2k+1)π18、π-φ)sinφ,公比为-eaπ的等比数列.(2)由(1)知,sinφ=,于是对一切n∈N*,xn<19、f(xn)20、恒成立,即nπ-φ0).设g(t)=(t>0),则g′(t)=.令g′(t)=0,得t=1.当01时,g′(t)>0,所以g(t)在区间(1,+∞)上单调递增.从而当t=1时,函数g(t)取得最小值g(1)=e.因此,要使(*)式恒成立,只需.而当a=时,由tanφ==>且0<φ<知,<φ<.于是π-φ<<,且当n≥21、2时,nπ-φ≥2π-φ>>.因此对一切n∈N*,axn=≠1,所以g(axn)>g(1)=e=,故(*)式恒成立.综上所述,若a≥,则对一切n∈N*,xn<22、f(xn)23、恒成立.M3数学归纳法22.B3、M3、E7[2015·湖北卷]已知数列{an}的各项均为正数,bn=nan(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令cn=(a1a2…an),数列{an}
18、π-φ)sinφ,公比为-eaπ的等比数列.(2)由(1)知,sinφ=,于是对一切n∈N*,xn<
19、f(xn)
20、恒成立,即nπ-φ0).设g(t)=(t>0),则g′(t)=.令g′(t)=0,得t=1.当01时,g′(t)>0,所以g(t)在区间(1,+∞)上单调递增.从而当t=1时,函数g(t)取得最小值g(1)=e.因此,要使(*)式恒成立,只需.而当a=时,由tanφ==>且0<φ<知,<φ<.于是π-φ<<,且当n≥
21、2时,nπ-φ≥2π-φ>>.因此对一切n∈N*,axn=≠1,所以g(axn)>g(1)=e=,故(*)式恒成立.综上所述,若a≥,则对一切n∈N*,xn<
22、f(xn)
23、恒成立.M3数学归纳法22.B3、M3、E7[2015·湖北卷]已知数列{an}的各项均为正数,bn=nan(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令cn=(a1a2…an),数列{an}
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