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1、内江十三中杨有军整理四川高考文科数学2010-2014年立体几何解答题汇编教师版1（2010.18本小题满分12分）在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；w_ww.k#s5_u.co*m解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点所以AM所以MO由AA’⊥AK，得MO⊥AA’w_wk#s5_u.cm因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’所以AK⊥BD’所以
2、MO⊥BD’又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’，过点N作NH⊥BC’于H，连结MH则由三垂线定理得BC’⊥MH从而,∠MHN为二面角M－BC’－B’的平面角MN＝1,NH＝Bnsin45°＝在Rt△MNH中，tan∠MHN＝故二面角M－BC’－B’的大小为arctan2解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D－xyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)(1)因为点M是棱AA’的中
3、点,点O是BD’的中点所以M(1,0,),O(,,),＝(0,0,1),＝(－1,－1,1)＝0,＋0＝0所以OM⊥AA’,OM⊥BD’又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.(2)设平面BMC'的一个法向量为＝(x,y,z)＝(0,－1,),＝(－1,0,1)即取z＝2,则x＝2,y＝1，从而＝(2,1,2)取平面BC'B'的一个法向量为＝(0,1,0)cos4内江十三中杨有军整理2.（2011.19本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝
4、A1C1，连接AP交棱CC1于D．（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；解法一：（Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O，连结OD，∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，∴OD∥PB1，又ODÌ面BDA1，PB1Ë面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．（Ⅱ）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A，∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂线定理可知BE⊥DA1．∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．在Rt△A1C1D中，，又，∴．在Rt△BAE中，，∴．故二面角A－A1
5、D－B的平面角的余弦值为．解法二：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则，，，，．（Ⅰ）在△PAA1中有，即．∴，，．设平面BA1D的一个法向量为，则令，则．∵，∴PB1∥平面BA1D，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一个法向量．又为平面AA1D的一个法向量．∴．故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为．4内江十三中杨有军整理3、(2012.19本小题满分12分)如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角的大小。[解析]（1）连接OC.由已知
6、，所成的角设AB的中点为D，连接PD、CD.因为AB=BC=CA,所以CDAB.因为等边三角形，不妨设PA=2，则OD=1，OP=,AB=4.所以CD=2，OC=.在Rttan（2）过D作DE于E，连接CE。由已知可得，CD平面PAB.据三垂线定理可知，CE⊥PA，所以，.由（1）知，DE=在Rt△CDE中，tan故4．(2013四川，文19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．(1)在平面ABC内，试作出过点
7、P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC．由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD．因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l⊥平面ADD1A1.(2)过D作
