高中数学竞赛专题讲座2 集合与容斥原理.doc

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1、容斥原理与抽屉原理一、基础知识（一）有限集合所含元素个数的几个简单性质（容斥原理）设表示集合所含元素的个数,（1）,当时，推广到个集合的情况，（2）变形：逐步淘汰原理（筛法公式）设S是有限集，()，在S中的补集为()，则+…+（三）集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。（四）计数原理定理1分类计数原理（加法原理）：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。定理2分步计数原理（乘法原理）：做一件事

2、分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。应用举例例1、某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学21个，物理19个，化学20个，数学物理都优秀9人，物理化学都优秀7人。化学数学都优秀8人。这个班有5人任何一科都不优秀。那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。分析：自然地设A={数学总评优秀的人}　B={物理总评优秀的人}C={化学总评优秀的人}　　则已知

3、A

4、=21

5、B

6、=19

7、C

8、=20这表明全班人数在41至48人之间。仅数学优秀的人数是　　可见仅数学优秀的人数在4至11人之间。同理仅

9、物理优秀的人数在3至10人之间。同理仅化学优秀的人数在5至12人之间。例2、集合A，B是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，若，求有序集合对（A，B）的个数；分析：集合I可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。例3、求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。分析：记，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的数有个。例4、设A＝{1,2，3，…，n}，对XA，设X中各元素之和为Nx，求Nx的总和.〖分析〗已知的所有的子集共有个.而对于,显然

10、中包含的子集与集合的子集个数相等.这就说明在集合的所有子集中一共出现8次,即对所有的求和,可得【解】集合的所有子集的元素之和为=〖说明〗本题的关键在于得出中包含的子集与集合的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.例5、给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。分析：将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上

11、，。例6、1992位科学家，每人至少与1329人合作过，那么，其中一定有四位数学家两两合作过。分析：在与一个人A合作的人中我们找到B。再说明一定有人与A和B都合作过为C。最后再说明有人与A、B、C都合作过为D，那么A、B、C、D就是找的人了。证明：一个人A。不妨设B与之合作。那么。即C与A和B均合作过，分别表示与A、B合作过的人的集合。同样地，。　　所以存在。则A、B、C、D就是所求，证毕。说明：把一个普通的叙述性问题转化为集合的语言描述的问题通常为解题的关键之处，也是同学们需加强的。（五）抽屉原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某

12、校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，这些理论称为“抽屉原理”。抽屉原则有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要的原理。把它推广到一般情形有以下几种表现形式。（一）抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+

13、1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。例1、已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于.如果把条件（包括边界）去掉，则结论可以修改为：至少有两个点之间的距离小于.分析：5个点的分布是任