集合中的容斥原理

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1、一.容斥原理(一)两集合型的容斥原理题目　　︱A∪B︱＝︱A︱＋︱B︱－︱A∩B︱关键是分清题目中的条件I和条件II，然后直接套用公式：满足条件I的个数＋满足条件II的个数－两者都满足的个数=总个数－两者都不满足的个数      一的个数+二的个数－都含有的个数＝总数－都不含有的个数1.某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都及格的有22人，那么两次考试都没有及格的人数是多少A.10    B.4    C.6    D.8  解:应用公式  26+24-22=32-X          

2、    X=4所以答案选B2.某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少　　A.22B.18　C.28D.26代入公式：26+24-x=32-4，得到x=223.某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有多少人。A.57        B.73    C.130    D.69解:应用公式：  68+62-X=85-12              X=57人4.一个俱乐部，

3、会下象棋的有69人，会下围棋的有58人，两种棋都不会下的有12人，两种棋都会下的有30人，问这个俱乐部一共有多少人?　　A.109人B.115人　C.127人　D.139人　　A【解析】69+58-30=x-12=>x=1095.电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问，两个频道都没有看过的有多少人?A.4B.15C.17　D.28B【解析】62+34-11=100-x=>x=156.一个停车场有50辆汽车,其中红色轿车35辆,夏利轿车28辆,有8辆既不是红色轿车又不是夏利轿车,问停车场有

4、红色夏利轿车多少辆?　　A.14B.21C.15D.22B【解析】35+28-x=50-8=>x=21(二)三集合型的容斥原理题目︱A∪B∪C︱＝︱A︱＋︱B︱＋︱C︱－︱A∩B︱－︱B∩C︱－︱C∩A︱＋︱A∩B∩C︱A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC=总个数－三者都不满足的个数　1.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有（ ）。　　A．22人 

5、B．28人C．30人D．36人　　【解析】A。设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52），则有：　　A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）　　B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）　　A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）　　A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）　　根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋︱A∩B︱＋︱B∩C︱＋︱C∩A︱－︱A∩B∩C︱　　︱C∩A︱＝A＋B＋C－（︱A∪B∪C︱＋︱A∩B︱＋︱B∩C︱－︱A∩B∩C︱）　　＝148－（100＋18＋16－12）＝2

6、6　　所以，只喜欢看电影的人＝C－︱B∩C︱－︱C∩A︱＋︱A∩B∩C︱　　＝52－16－26＋12　　＝222.外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有（ ）。　　A．4人B．5人C．6人D．7人　　【解析】B。此题应该用文氏图法，将能教英语、日语、法语的教师分别设为不同的集合。先设所有集合的交集为2，依题意得文氏图（见下图）。　　由图可得只能教法语的老师为：27－8－6－3－2－2－1＝5人。3.某工

7、作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多（ ）。　　A．1人　B．2人　C．3人　D．5人　　【解析】C。如图所示：上图的含义为只懂英语、法语和西班牙语的人数分别人2、1和2，共5人，而一种语言都不会说的人数为12－（2＋2＋1＋1＋1＋1＋2）＝2（人），5－2＝3（人）。4.如下图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，它们部分

8、重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290，且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36，问阴影部分的面