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1、第一讲集合与容斥原理主讲：张贵学第一讲集合与容斥原理集合是一种数学语言、一种基本的数学工具。它不仅是高中数学学习的第一课，而且是整个数学的基础，对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而应随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言（术语与符号）来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系，表示方程（组）或不等式（组）的解，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。第一讲集合与容斥原理一、学习集合要抓住元素这个关键。遇到集合问题，首先要弄请：
2、集合里的元素是什么。元素是集合的基本内核，研究集合，首先就要确定集合里的元素是什么。例1、设A={x
3、x=a2+b2,a,b∈Z},x1,x2∈A求证：x1x2∈A第一讲集合与容斥原理分析:根据集合A的特性,只要证明x1x2能表示成两个整数的平方和的形式即可.解:设x1=a2+b2,x2=c2+d2,a,b,c,d∈A,则有x1x2=(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2,显然x1x2∈A.第一讲集合与容斥原理例2、已知A={y
4、y=x2-4x+3,x∈R},B={y
5、y=-x2-2x+2,x∈R},求A∩B.
6、分析：画出两抛物线的图象，观察可知，两条抛物线没有交点，这是否意谓A∩B= ?解;A={y
7、y≥－1}，B={y
8、y≤3},它们的元素都是“实数”，从而有A∩B={y
9、－1≤y≤3}第一讲集合与容斥原理二、集合中待定元素的确定例3、已知M={x,xy,lg(xy)}，S={0,
10、x
11、,y},M=S,则(x+1／y)+(x2+1／y2)+…+(x2010+1／y2010)的值等于( )。解：由M=S知，两集合元素完全相同。这样,M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以xy，故x,y均不为零，所以只能有lg(xy)
12、=0，从而xy=1，再由两集合相等知x=-1,M=S={-1,1,0}.此时y=-1,所求代数式的值为0.第一讲集合与容斥原理例4、设A={x
13、x2+ax+b=0}B={x
14、x2+cx+15=0}，若A∩B＝{3}，求a,b,c的值。解：由A∩B＝{3}知3∈B,由韦达定理知此时，B＝{3,5}＝A∪B.又由A∩B＝{3}知5A；故A={3}，即二次方程x2+ax+b=0有二等根，根据韦达定理,有x1+x2=-6=a，x1x2=9=b,所以a=-6，b=9,c=-8.第一讲集合与容斥原理三、有限集元素的个数(容斥原理)请看以下问题：开运
15、动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同实参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？解决这个问题需要我们研究集合元素的个数问题。我们用
16、A
17、或card(A)表示集合A中元素的个数，（例如若A={1，2，3}，则
18、A
19、=3）可以证明：1、
20、A∪B
21、=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣2、∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣-
22、C∩A
23、+
24、
25、A∩B∩C∣第一讲集合与容斥原理现在我们可以来回答刚才的问题了：设A＝{参加游泳比赛的同学}，B＝{参加田径比赛的同学}，C＝{参加球类比赛的同学}则
26、A
27、=15，
28、B
29、=8，
30、C
31、=14，
32、A∪B∪C
33、=28，且
34、A∩B
35、=3，
36、A∩C
37、=3，
38、A∩B∩C
39、=0由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－
40、B∩C
41、+0， 即
42、B∩C
43、=3所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15－3－3＝9(人)第一讲集合与容斥原理例5、学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影
44、。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电影？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影（但不喜欢看戏剧）？（假定每人至少喜欢一项）第一讲集合与容斥原理解：法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分（如图）这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有12人，把12填在三个圆圈的公共部分内（图中阴影部分），其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数（注意，有的部分的人数要经过简单的计算）其中设既喜欢看
45、电影又喜欢看球赛的人数为χ，这样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100解得χ=14.只喜欢看电影的人数为36-14=22第一讲集合与容斥原理解法2：设A
