6.12 容斥原理

《6.12 容斥原理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、12.容斥原理学习目标:1.理解并掌握容斥原理，掌握维恩图的画法。2.利用方法解决不同类型的容斥问题。3.培养学习兴趣，提升逻辑能力。教学重点:理解并掌握容斥原理，掌握维恩图的画法。教学难点：有三类事物时，对维恩图的理解。能够独立分析这类问题。教学过程：一、情境体验猜一个谜语，两对父子最少有多少人？（思考片刻，告知答案为3人），为什么不是4个人呢？把书翻到60面，祖孙三人在一起，爸爸既是第一对父子中的儿子，又是第二对父子中的爸爸。这类问题就是我们今天要学习的内容——较复杂的容斥原理（板书课题），画的图叫做维恩图，二、基础巩固展示例1例1：一次期末考试，

2、某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？师：至少有一门得满分是什么意思？生：只有语文得满分，只有数学得满分，以及语文和数学都得满分的人全部加起来。师：说的很好，那么得满分的有3种情况，我们可以画图来表示（展示ppt中例1）。师：老师只画了两个圆，两门都得满分的人应该怎样表示呢？生：数学得满分的人包括只有数学得满分和两门都得满分的，语文也是一样。师：所以可以如图中所示，现在这样表示你会做了吗？生：只有数学得满分的有15－4＝11（人），同理只有语文得满分的有8人，最后把3个量的人数加

3、起来为23人。师：除了这个方法，你还能想出别的方法吗？（点生回答，介绍方法二、方法三）师：今天我们重点学习方法三，既然有两门都得满分的，我们让两个圆相交，这样画可不可以？（如下图，引导学生说出三个部分各表示什么意思）师：这个方法叫做维恩图，题目让我们求的是图中哪部分？生：整个图形。师：怎么算你知道了吗？生：两个圆各自的人数加起来，因为4多加了一次，所以最后减4。师：大家掌握的都很快。小结：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数=A类元素个数+B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。展示例2例2：一个班有42人，参加合唱队的有30人，参

4、加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？师：思考一下，可以画维恩图来分析吗？生：可以，画两个相交的圆。师：图中每个部分表示什么意思呢？（点生回答）师：已经知道了每个部分的含义，那么现在的图表示的总人数是42人吗？生：不是，要把什么都没参加的5个人去掉，应该是37人。师：说的很好，所以这样的问题，我们需要在外面加个长方形来表示总人数，长方形内圆形外表示什么都没参加的人，这里是5人，两个圆表示至少参加一种的人数是37人。（如右图），接下来怎么做呢？生：中间部分表示两种都参加的人，参加合唱的人数加参加美术组的人数减去两种都参加的得到

5、37人，列式为30+25-37=18（人）。展示例3例3：全班有48名学生，其中会弹钢琴的有10人，会吹竖笛的有30人，两样都不会的有16人，两样都会的有多少人？师：看完题目你会做吗？生：跟例2差不多。师：你能画图来表示吗？（点生演板，确定画图正确，点生回答各部分的意思）师：同学们自己试着做一下，等会找同学来回答。生：先算出至少会一种乐器的人数为32人，弹钢琴的加吹竖笛的减去两样都会的得到32人，列式10+30-32=8（人）。展示例4例4：从1到500的所有自然数中，既不是3也不是7的倍数的数有多少个？师：这道题该如何考虑？生：先计算3和7的倍数的数

6、各有多少个，500÷3=166……2，500÷7=71……3。师：3和7的倍数的数各有多少个呢？生：3的倍数有166个，7的倍数有71个。师：非常好。计算从1到500的自然数中某数的倍数的个数，用500除以这个数，商是几就有几个。接下来怎么办呢？生：500－166－71＝263（个）。师：仔细思考这样就做完了吗？生：噢，没有，500以内有些数既是3的倍数又是7的倍数，这样计算减重复了。师：所以，我们应该把既是3又是7的倍数的数加回来吧？可是有多少个呢？生：求出3和7的最小公倍数是21，500÷21＝23……17，共有23个。师：23应该怎么办？生：26

7、2＋23＝285（个）师：对不对呢？其实如果我们用维恩图分析就更方便了。（如右图）师：左边圆表示3的倍数，右边圆表示7的倍数，相交部分表示什么？生：既是3又是7的倍数。师：两个圆合起来表示什么？生：3或7的倍数的数。师：能计算出是多少吗？生：166＋71－23＝214（个）。师：那么不是3和7的倍数的数有多少个怎么做？生：用500减去214得到286个。展示例5例5：五年级学生在一次春游中每个人都带了饮料，其中有51人带了汽水，有48人带了可乐，有32人带了果汁；有16人带了汽水、可乐两种饮料，有11人带了可乐、果汁两种饮料，有13人带了汽水、果汁两种

8、饮料，另外还有7人带了汽水、可乐和果汁三种饮料。问五年级的学生有多少人？师：题目比较长，同学们