容斥原理例题

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1、学科：奥数教学内容：第四讲容斥原理（二） 上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图.要计算阴影部分的面积，我们记A∩B为圆A与圆B公共部分的面积，B∩C为圆B与圆C公共部分的面积，A∩C表示圆A与圆C的公共部分的面积

2、，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X。请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得x=2。答：三项都报名的有2人。说明：在“A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X”式中，A，B，C，A∩B，B∩C，A∩C，x和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个

3、？分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数－（既能被3整除又能被5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数=能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。解答：能被3整除的自然数有多少个？1000÷3=333……1有333个。能被5整除的自然数有多

4、少个？1000÷5=200有200个。能被7整除的自然数有多少个？1000÷7=142……6有142个。既能被3整除又能被5整除的自然数有多少个？1000÷15=66……10有66个。既能被3整除又能被7整除的自然数有多少个？1000÷21=47……13有47个。既能被5整除又能被7整除的自然数有多少个？1000÷35=28……20有28个。能同时被3、5、7整除的自然数的个数有多少个？1000÷（3×5×7）=9……55有9个。能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：333+200+142－（66+47+28

5、）+9=457个。所以不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：1000－543=457例3某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀。这部分达到优秀的项目、人数如下表：短跑游泳篮球短跑游泳游泳篮球篮球短跑短跑、游泳、篮球1718156652请问：这个班有多少名学生？分析：本题是较复杂的容斥原理的题目，可以画一个长方形表示全班学生，再画三个相交的圆分别表示短跑、游泳、篮球得优秀的学生。注意计算短跑人数+游泳人数+篮球人数时，短跑游

6、泳人数、游泳篮球人数、篮球短跑人数分别被算过两次，而短跑游泳篮球人数则被计算了3次。解答：至少一项优秀人数=短跑人数+游泳人数+篮球人数-（短跑游泳人数+游泳篮球人数+篮球短跑人数）+短跑游泳篮球人数=17+18+15-（6+6+5）+2=35所以全班人数=至少一项优秀人数+未得优秀人数=39。说明：本题解中的公式是三个不同集合相互相交而得的问题所用的容斥原理公式，本题也可依次计算图中每一小块所代表的集合的人数最后再求和。如图所示，图中分成8个部分：G=短跑游泳篮球三项优秀人数=2D=只有短跑游泳两项优秀人数=短跑、

7、游泳优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=6-2=4E=只有游泳篮球两项优秀人数=游泳、篮球优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=6-2=4F=只有篮球短跑两项优秀人数=篮球、短跑优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=5-2=3A=只有短跑一项优秀人数=短跑优秀人数-（D+G+F）=17-（4+2+3）=8B=只有游泳一项优秀人数=游泳优秀人数-（D+G+E）=18-（4+2+4）=8C=只有篮球一项优秀人数=篮球优秀人数-（E+G+F）=15-（4+2+3）=6H=三个项目均未达到优秀人数=4；所以　A+B+C+D+E+

8、F+G+H=8+8+6+4+4+3+2+4=39例4如下图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米。请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？分析：注意到三角形ABD、三角形ACD面积的和比所求的阴影部分多算了三角形AED与三角形DOG面积的和，而这两个三角形的面积和可由三角形AFD的面积减去四边形OEFG