抽屉原理与容斥原理.doc

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1、抽屉原理与容斥原理有人说：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；又说：“某校一个年级的400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”，你认为他的说法对吗？你能说明为什么对或为什么不对吗？1947年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。”这道题看起来与数学没有多大关系，似乎无法用数学知识解决。但解决时并不要用到多少高深知识，立即引起了许多数学爱好者的关注和兴趣。以上问题就是数学中的一类与“存在性”有关的问题。解决以上这几个问题，要用

2、到数学中的抽屉原理。我们很容易理解这样一个事实：把3只苹果放到两个抽屉中，肯定有一个抽屉中有2只或2只以上的苹果。用数学语言表达这一事实，就是：将n+1个元素放入n个集合内，则一定有一个集合内有两个或两个以上的元素（n为正整数）。这就是抽屉原理，也称为“鸽笼（巢）”原理。这一原理最先是由德国数学家狄里克雷明确提出来的，因此，称之为狄里克雷原理。抽屉原理还有另外的常用形式：抽屉原理2：把m个元素任意放入个集合里，则一定有一个集合里至少有k个元素，其中：抽屉原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含

3、有无穷多个元素。现在你能肯定前面的两种说法是正确的吗？你能说明这两种说法是正确的吗？利用抽屉原理，可以解决一些相当复杂甚至感到无从下手的问题，抽屉原理也是解决存在性问题的常用方法。例1.在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。分析：解这道题，可以考虑先将4与100，7与97，49与55……，这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉，剩下1和52再构成2个抽屉，这样，即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉，从

4、而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组。解：1，4，7，10，……，100中共有34个数，将其分成{4，100}，{7，97}，……，{49，55}，{1}，{52}共18个抽屉，从这18个抽屉中任取20个数，若取到1和52，则剩下的18个数取自前16个抽屉，至少有4个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取1和52，则有多于18个数取自前16个抽屉，结论亦成立。试一试：从2，5，8，11，……，101中任取20个数，其中必有两对数，它们的和为10

5、6。例2.任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和能被3整除。分析：解这个问题，注意到一个数被3除的余数只有0，1，2三个，可以用余数来构造抽屉。解：以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉，共有3个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数，结论成立；若至少有一个抽屉内没有数，那么5个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是3的倍数，结论亦成立。例3.在边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过。解：

6、分别连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为。把这四个小正方形看作4个抽屉，将9个点随意放入4个抽屉中，据抽屉原理，至少有一个小正方形中有3个点。显然，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过。反思：将边长为1的正方形分成4个面积均为的小正方形，从而构造出4个抽屉，是解决本题的关键。我们知道。将正方形分成面积均为的图形的方法不只一种，如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形，这4个图形的面积也都是，但这样构造抽屉不能证到结论。可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题

7、的关键。试一试：在边长为1的等边三角形中有10个点，证明其中必有两个点之间的距离不大于。例4.有一个圆，经过圆心任意作993条直径，它们与圆共有1986个交点，在每个交点上分别填上从1到496中的一个整数（可以重复）。证明：一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。分析：由于结果与直径两端的和有关，因此考虑直径两端数的和共有从1+1到496+496的991种情况，可以将这991种情况作为991个抽屉，而直径两端的和共有993个数，由抽屉原理，一定存在两条直径，它们的两端数的和相等。证明：因为直径两端的和从2到9

8、92共有991种不同的结果，993条直径两端的和共有993个数，由抽屉原理可知，一定存在两条直径，它们的两端数的和相等。试一试：圆桌周围均匀地放了10个座位，桌边上放有10位客人的名字。当客人随意入座后，发现没有一个人对着自己的名字，试证明，可以转动圆桌，使得至少有两位客人同时对着自己的名字。应该注意的是用抽屉原理解决问题，只能证明具有某种性质的对象的“存在性”，却不一定