Minkowski空间上平分集的道路连通性.pdf

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1、第34卷第6期通化师范学院学报(自然科学)Vo1．34№62013年12月JOURNALOFTONGHUANORMAlUNIVERSITYDec．2013Minkowski空间上平分集的道路连通性许晶，吴晓微(通化师范学院数学学院，吉林通化134002)摘要：本文利用Minkowski空间中单位球面上的极大非平凡线段的长度和等腰正交唯一性的关系，得到了Minkowski平面上的平分集是道路连通的，并将这个结果推广到了维数大于等于3的Minkowski空间中．关键词：平分集；等腰正交；Minkowski平面；Minkowski空间；道路连通中图分类号：0177文献标志码：A文章

2、编号：1008—7974(2013)06—0007—031预备知识所在空间的几何性质，其几何结构也因此一直是人设是一个Minkowski空间(即实有限维的赋们关注的热点问题_4J．范线性空间)，IJ·lI是上的范数．用O表示的设是一个线性空间．称是中从到Y的一原点，用S={：IlI=1}和B={：IlI1条道路时满足=0)和Y=1)，其中0)为道1}分别表示的单位球面和单位球．对任意不同的路的起点1)为道路的终点．称集合A是道路连通两点，Y∈X，用[，Y]表示以，Y为端点的线段，的满足对于集合A中V，y，都存在A中的一条从(，)，)表示过，Y两点的直线，[，)，)表示以为起到

3、Y的道路．下证平分集是道路连通的．点，过Y点的射线．2主要结果设P，q∈X，P≠q，称集合我们首先证明Minkowski平面上平分集是道路B(p，g)={∈X：ll—PIl=I}—qfl}连通的，然后将该结果推广到维数d3的为P，q的平分集，也称B(p，q)是线段[p，q]的平分Minkowski空间中．集．R．C．James给出了等腰正交的概念：设．Y∈X，对V∈X，用()表示平行于(一，)，并且若等式+YlI=一Y}l成立，则称等腰正交包含在

4、s中的极大线段[n，b]的长度。如果不存在于Y，记作j_，Y．平行于(一，)且包含在s中的线段[0，b]，我们文献[2]中指出：一

5、个点∈8(p，g)当且仅当令()=0．引理1to]设是一个Minkowski平面，∈X，(z一)上，巳，更一般地，我们有二二满足ll>0·对Vr∈【0，J(当()=0B(一，)：{z：上，z}这意味着等腰正交的性质决定了Minkowski空间平时，r∈[0，+。。))，存在唯一的一点Y∈rS(不考虑分集的几何结构，反之亦然．文献[3]得到的结果是符号)，使得上，从一个赋范线性空间到另一个赋范线性空间l，的定理1设是一个Minkowski平面．对Vp，q∈线性算子保持等腰正交的充要条件是它是一个线性X，8(p，q)是道路连通的．等距的倍数．所以，可利用Minkowski空间平分

6、集的证明我们设具有方向09．对V∈＼{O}，几何性质来刻画特殊的赋范线性空间或深入的研究以(一，)为界的两个开的半平面分别用和收稿日期：2013—10—26作者简介：许晶(1982一)，女，吉林通化人，在读博士，通化师范学院数学学院教师．基金项目：吉林省教育厅“十二五”科学技术研究项目(吉教科合字[2011]第456号)·7·来表示，且满足对V。∈i4+，有(一x)z==∞成立；对V∈，有X,Z=(一)=∞成立(见文献段[口，6]cJs。对VA∈[0，一)，令[6])．0^=(1一A)n+A6，6^=(1一A)b+Aa，我们由范数诱导的距离的平移不变性和范数的绝对齐次性，只需

7、要证明对V∈S，B(一，)是y=≥()，那么=1(n+6^)，且道路连通的。我们分两种情形来讨论：I(6一+1(6+II=情形1平行于(一，)的非平凡线段[n，6]cS是不存在的，即M()=0．由引理1，对Vt>lI1(6n)一l(b+n)I1一0，存在唯一的Y∈tSn使得Y上，．建立映：．_(一，)因此虿1(6～凸)J-，．另一方面t—Y，{y}=B(一，)ntSJYn令(6一=丢((2A一1)口+(1—2A)6)=￡)：l()>o，【0t=0．(1—2x)(6一口)．可见Jf(t)在0点满足右连续．欲证B(一，)nu{0}是道路连通的，只需证(t)是连续的．因此(1—2A

8、)(6一口)上∥，即先证B(一，)是闭集．我们任取序列{y}_1_(1—2A)II6一口11上∥B(，)，其中limy=Y。．那么lIY+Il=Ily一lI一一⋯—一从而liraIIy+l1=liralIY一I1．这意味着(1—2A)Ilb一0IIlimy+ll=lIlimy一l所以存在一条射线因此y>B(一n‘lIY。+Il=lIY0一ll同理可得即Yo∈B(一，)．再证(t)是连续的．如果不这样的话，存在一，，，一3y>曰()n‘点t0∈和一个序列{t}c符合limt：t0，下面证明对Vm∈日(一，