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时间:2020-05-01
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1、高中数学必修21.2.1平面的基本性质(1)问题情境:3.现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象,它们有什么共同特征?1.在直观图的画法中如何画水平放置的正方形的直观图?2.右图中正方体的底面是什么形状?为何画成了平行四边形?问题:1.平静的湖面,干净的地面,课桌面等画面会给你留下怎样的印象呢?2.能不能说一个平面有边界?3.当我们想象海平面是一平如镜时,它有什么特点?很大、很平.以上问题给了我们“平面”的直观形象,平面是一个不加定义的概念,具有“平”、“无限延展”、“没有厚薄”的特点.1.平面的认识.①一个平面的面积可以等于100cm2吗?②通常200页书会比20页书厚一些,那么2
2、00个平面重合在一起时比20个平面重合在一起时要厚吗?无限延展(无边界、无面积)没有厚薄之分2.平面的画法及表示.通常我们画出直线的一部分来表示直线;同样地,我们也可以画出平面的一部分来表示平面.几何里的平面是无限延展的.常见的桌面、平静的水面都给我们以平面的形象,那么如何画出平面呢?Ⅱ.平面的表示:①通常用希腊字母、、等来表示,如平面,平面②也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示.如平面AC.有时也可写成平面ABCD.2.平面的画法及表示.ABCDⅠ.平面通常用平行四边形来表示:以不同形状的平行四边形表示不同位置的平面。例如可用水平放置的正方形的直观图表示水平放置的平面
3、。3.空间点、直线和平面的位置关系.空间中点、直线和平面的位置关系,该如何表示呢?可以借用集合中的符号来表示。(1)点与直线位置关系点A在直线l上Al点A不在直线l上文字语言图形语言符号语言lAlAAl(2)点与平面位置关系文字语言图形语言符号语言点A在平面内点A不在平面内AAAA(3)直线与直线位置关系(平面内)文字语言图形语言符号语言l2A(4)直线与平面位置关系文字语言符号语言A直线AB在平面内AB直线l1与直线l2相交直线l1与直线l2平行l1l1∩l2=Al2l1l1∥l2直线AB与平面平行类似地,还有平面与平面的位置关系图形语言BABAB
4、在长方体ABCD—A1B1C1D1中,正方体的三个面所在平面A1C1,A1B,BC1分别记作,,.①A1A1B1,B1_____A1B1,C1_____AB;②A1,B________,B1________;③∩=A1B1,∩=_______,∩=_______.④A1B1_____,BB1______,A1B1_______BB1B1C1练习:1.将一把直尺置于桌面上,通过是否漏光就能检查桌面是否平整,为什么?你能回答吗?2.如图,P,Q,则直线PQ与平面的位置关系是什么?PQ∩=PPQ在生产生活中,人们经过长期的观察与实践
5、,总结出关于平面的基本性质。我们把它们当作公理,作为进一步推理的基础。若改为P,Q呢?4.平面的基本性质.AB用符号语言可表示为ABAB公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内用图形表示公理1中只一个平面的情形,若对于两个不重合的平面,有公共点吗?它们有公共点时,则只有一个吗?想一想:这个公理有什么作用?公理1可以用来判断一条直线是否在一个平面内,同时说明了平面的无限延展性。A••B公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过此公共点的一条直线.4.平面的基本性质.P,P,且∩=l
6、Pl.①判断两个平面是否相交;②判定点是否在线上:即常用于判定几点共线或几线共点问题.公理2常用于:aPP∩=l,且Pl.符号表示:如果两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交,这条公共直线叫做这两个平面的交线。两个平面相交的画法:(对两个相交平面,被遮住的部分用虚线表示或不画)例1.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,画出由A1,C1,P三点所确定的平面与长方体表面的交线.DBB1AA1D1CC1P因为点P既在平面内又在平面AB1内,所以点P在平面与平面AB1的交线上.同理点A1在平面与平面AB1的交线上.因此,PA1就是平
7、面与平面AB1的交线同理,连结PC1,A1C1,它们就是平面与长方体表面交线.例2.根据下列符号表示的语句,说出有关点、线、面的关系,并画出图形.例3:已知△ABC在平面外,它的三边所在直线分别交于P,Q,R.求证:P,Q,R三点共线.ABC三点共线点在线上PRQ1.下列叙述中,正确的是_______.①因为P,Q,所以PQ;②因为P,Q,所以∩=PQ;③因为AB,CAB,DAB,所以CD
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