三对角、五对角对称Toeplitz矩阵的解析逆阵.pdf

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1、第21卷第2期测绘学院学报VO1.21NO.22004年6月JOurna1OfInstituteOfSurveyingandMappingJun.2004文章编号!1009-427X(2004)02-0082-03三对角五对角对称TOep1itz矩阵的解析逆阵宋以胜1!张传定2!张书华3"1.解放军理工大学工程兵工程学院!江苏南京210007#2.信息工程大学测绘学院!河南郑州450052#3.郑州经济管理干部学院!河南郑州450052$摘要!给出了全球重力场数据插值处理中常用的三对角五对角对称TOep1itz矩阵

2、逆元素的解析计算表达式O它避免了逆矩阵计算中需要调用三角函数的缺陷9只需要进行简单的幂次运算9从而大大提高了计算速度9为等距B-样条插值等应用领域拓展了算法9具有潜在的实用意义O关键词!三对角TOep1itz矩阵S解析表达式SB-样条插值中图分类号!P223文献标识码!A在现时数据处理中9很多问题经建模后往往TOep1itz循环阵具有如下特性C归结为三对角五对角对称TOep1itz线性方程组A=C(a09a199aS-1)=(cij)(2)的求解问题O对于三对角阵9有两种求解途径C一aj-i9ji是采用三对角方程通用

3、的追赶解法9需要机时较cij={9jia1+(j-i)多9没有顾及对称TOep1itz特征9算法不够优化SA是由1个元素唯一确定的矩阵9FOurier变二是利用三对角对称TOep1itz矩阵存在解析特征换矩阵是其特征矢量9这1个元素的FOurier变换值和富立叶正弦变换后矩阵元素是其特征矢量的值是其特征值?O即a特点9采用FFT算法实现O针对某些问题9还需C(a09a199a1-1)=(cij)要做其它运算9FFT算法有其优势O假定仅用于?01iaaj一次求解9矩阵维数较高时9FFT算法需要大量=e+2T-11e-2T

4、-11(3)1调用三角函数并进行矩阵运算9浪费机时9算法也?1-1不够优化O对于五对角阵9则没有好的方法O另1-1aS-2T-1?aSe19(a=091991-1)(4)a=一方面9TOep1itz矩阵的应用研究始终是现代数S=0值方法研究的热点之一9也是工程技术领域急需因此9由矩阵乘积的求逆规则9(2)或(3)式的求解决的问题9在地球重力场也有着广泛的应用O逆也是一个FOurier变换问题9即-1?01iaaj-1+2T-1-2T-1lTOeplitz循环矩阵及其逆矩阵的三角函数表示A=e1e11圆周上的a次等距B样

5、条插值等价于a次等?-11-1距周期样条插值O对于1个节点9三次周期样条插=C(a-19a-199a-1)011-1值的系数阵为式中410011-1-11-1+2T-1aSa?1(5)S=ae14101a=0013这就是TOep1itz循环矩阵逆的三角函数表示A=(1)1>1310式O由(4)(5)式可以看出9TOep1itz循环矩阵的0141求逆可转化为三角函数的运算O即使ai为实数9但10014计算过程却是复数运算O对于某些高实时运算而它是由3个非零元素组成的TOep1itz循环矩言9显得过于麻烦O阵9通常用C(

6、491991)表示O不失一般性91阶收稿日期!2003-10-15S修回日期!2003-12-18基金项目!河南省杰出人才创新基金项目(0321000100)作者简介!宋以胜(1966-)9男9安徽太湖人9讲师9硕士9主要从事战场环境数字化研究O第2期宋以胜等C三对角五对角对称TOep1itz矩阵的解析逆阵832三对角对称TOeplitz循环矩阵的解析逆3三对角对称TOeplitz矩阵的解析逆从(1>式可以看出三对角对称TOep1itz循环三对角对称TOep1itz矩阵可由两个元素a矩阵只有3个非零元素2个独立变量

7、即来表示即A=C(a00>a001-3a3其特征根为aa(1-1>A=T1(a>=00?-2T-11+-2T-111>1a=a+3a2Ta=a+2cOs(6>00a1文献[1I指出该矩阵的特征值为若能将式?的倒数表示成三角函数的级数aaT则代入(5>式可以求得逆阵元素的解析表示0为?a=a+2cOs(a=121>(12>1+1此首先研究三角函数其对应的特征向量的各分量为a(>=1/(+cOs>(7>2iaT的级数展开式0利用三角函数的欧拉表示则有ia=sin(ia=121>1+11+1+cOs=-1(1-i>(1--i

8、>(8>(13>ee2以为列向量组成矩阵<=[I则<式中的定义域为复数域在复数域始终取a121就是离散正弦变换矩阵是一个正交矩阵且有<1的值即-1(14>2-+-1Re(>>0-1A=T1(a>=<2-+-1Re(>=0Im(>>0(>=<当且仅当?a=0(a=121>时矩