二阶线性周期微分方程的解和小函数的关系.pdf

《二阶线性周期微分方程的解和小函数的关系.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、华南师范大学学报（自然科学版）２０１３年９月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＳＯＵＴＨＣＨＩＮＡＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ第４５卷第５期Ｓｅｐ．２０１３（ＮＡＴＵＲＡＬＳＣＩＥＮＣＥＥＤＩＴＩＯＮ）Ｖｏｌ．４５Ｎｏ．５文章编号：１０００－５４６３（２０１３）０５－００１３－０６二阶线性周期微分方程的解和小函数的关系倡袁舒婷，陈宗煊（华南师范大学数学科学学院，广东广州５１０６３１）z－zz－zz摘要：研究了二阶线性周期微分方程f″＋［P１（ｅ）＋P２（ｅ）］f′＋［Q１（ｅ）＋Q２（ｅ）］f＝０和f″＋［P１（ｅ）＋－zz－zz－zP２（ｅ）］f′＋［Q

2、１（ｅ）＋Q２（ｅ）］f＝R１（ｅ）＋R２（ｅ）的解以及它们的一阶导数、二阶导数、微分多项式与小函数之间的关系，其中Pj（z）、Qj（z）及Rj（z）（j＝１，２）是关于z的多项式．关键词：周期微分方程；收敛指数；小函数中图分类号：Ｏ１７５．２９文献标志码：Ａｄｏｉ：１０．６０５４／ｊ．ｊｓｃｎｕｎ．２０１３．０７．００３最多有一个次正规解f０，且f０具有形式z－z1引言与结果f０＝S１（ｅ）＋S２（ｅ），z－z其中S１（ｅ）和S２（ｅ）是z的多项式．［１－４］本文使用值分布理论的标准记号，并用（ｉｉ）方程（２）的所有其他解f满足σ２（f）＝１

3、除l（f）、l（f）、σ（f）和σ２（f）分别表示亚纯函数f（z）去（ｉ）中可能出现的次正规解．的零点收敛指数、不同零点序列的收敛指数、增长级定理Ａ和定理Ｂ得出关于二阶线性周期微分以及超级，ｄｅｇP表示多项式P（z）的次数．另外还使方程的非次正规解的超级为１．文献［８］－［１０］证用l（f－φ）表示亚纯函数f取小函数φ的点的收敛明了在特定条件下，一些二阶线性微分方程的解以［５］指数．陈宗煊研究了４种类型的整函数系数的二及它们的一阶导数、二阶导数、微分多项式取小函数阶线性微分方程的解的不动点及超级问题．ＧＵＮ-［９］的收敛指数都等于无穷．徐俊峰和

4、仪洪勋证明［６］［７］ＤＥＲＥＮ和ＳＴＩＮＢＡＲＴ、陈宗煊研究了关于二阶了：线性周期微分方程的次正规解的存在性、形式以及定理Ｃ假设Aj（z）（厨０；j＝０，１）是整函数且该方程所有解的增长性．σ（Aj）＜１，假设a，b是复常数且满足ab≠０和a／b［７］陈宗煊证明了：｛１，２｝，如果φ（厨０）是级小于１的整函数，那么方程定理Ａ假设Pj（z）和Qj（z）（j＝１，２）是z的多f″＋Aazbz１ｅf′＋A０ｅf＝０（３）项式．如果ｄｅｇQ１≠ｄｅｇP１，ｄｅｇQ２≠ｄｅｇP２，且Q１的每一个解f（厨０）满足＋Q２厨０．那么方程l（f－φ）＝l（f′

5、－φ）＝l（f″－φ）＝∞．z－zz－zf″＋［P１（ｅ）＋P２（ｅ）］f′＋［Q１（ｅ）＋Q２（ｅ）］f＝０定理Ｄ假设Aj（z）（厨０；j＝０，１）是整函数且（１）σ（Aj）＜１．假设d０（z），d１（z），d２（z）是不全恒等于没有非平凡次正规解，且其每一个解满足σ２（f）＝１．零的多项式，a，b是复常数且ab≠０和a／b｛１，定理Ｂ假设Pj（z）、Qj（z）及Rj（z）（j＝１，２）是z３／２，４／３，２，３，４｝，φ（厨０）是级小于１的整函数．如的多项式．如果ｄｅｇQ１≠ｄｅｇP１，ｄｅｇQ２≠ｄｅｇP２，且果f（厨０）是方程（３）的一

6、个整函数解，那么微分多Q１＋Q２厨０，那么项式g（z）＝d２f″＋d１f′＋d０f满足l（g－φ）＝∞．（ｉ）方程对于方程（１）和方程（２）的解以及它们的一阶z－zz－zf″＋［P１（ｅ）＋P２（ｅ）］f′＋［Q１（ｅ）＋Q２（ｅ）］f＝导数、二阶导数、微分多项式与小函数之间的关系将z－zR１（ｅ）＋R２（ｅ）（２）如何？这里得到如下结果：收稿日期：２０１２－０４－０９基金项目：国家自然科学基金项目（１１１７１１１９）倡通讯作者：陈宗煊，教授，Ｅｍａｉｌ：ｃｈｚｘ＠ｖｉｐ．ｓｉｎａ．ｃｏｍ．１４华南师范大学学报（自然科学版）第４５卷定理１假设P

7、j（z）和Qj（z）（j＝１，２）是z的多０，１，２）是不全恒为零的多项式．那么w（z）＝d２f″＋项式．如果ｄｅｇQ１≠ｄｅｇP１，ｄｅｇQ２≠ｄｅｇP２，且Q１＋d１f′＋d０f具有无穷级．Q２厨０．若设φ（z）（厨０）是级小于１的整函数，那么方定理１的证明假设f（厨０）是方程（１）的解，程（１）的每个解f（厨０）满足l（f－φ）＝l（f′－φ）＝由定理Ａ可知σ（f）＝∞及σ２（f）＝１．令g０（z）＝l（f″－φ）＝∞．f（z）－φ（z），那么σ（g０）＝σ（f）＝∞，l（g０）＝l（f－定理２假设Pj（z）和Qj（z）（j＝１，２）是z

8、的多φ）．将f＝g０＋φ代入方程（１），得到项式．如果ｄｅｇQ１≠ｄｅｇP１，ｄｅｇQ２≠ｄｅｇP２，且Q１g″０＋（P１＋P２）g′０＋（Q１＋Q２