二阶线性常微分方程的解的结构

《二阶线性常微分方程的解的结构》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、二阶线性常微分方程的解的结构二阶线性常系数微分太程的解的求法二阶线性常微分方程：y〃+p(x)/+q(x)y=r(x>p(x>、q(x>、r(x>是区间I上的己知函数y〃+p(x}y'+q(x>y=O齐次y"+p(x)/+q(x)y=r(x),r(x)#O,非齐次【一】对齐次方程:y〃+p(x)y'+q(x)y=O1.若yi(x)和y2(x)都是上述齐次方程的解，则Ciyi(x)+C2y2(x)仍是上述方程的解.2•若y!⑻和y2(x)在区间I上线性无关，即ay1(x)+py2(x)=0仅当a=p=O时成立,Ijjijy=Ciyi(x)+C2y2(x)即是y〃+p(x}

2、y'+q(x)y=O的通解。【y〃+p(xh<+q(x)y=O的任何一个解可表示成(x)的形式】由上述1和2,求y"+p(x)y'+q(x)y=O的通解，只需找到两个K两个线性无关的特解.【二】对非齐次方程：y"+p(x)/+q(x)y=r(x),r(x)#Oy*(x)是艽一y"+p(x)y'+q(x)y=r(x)，r(x)#O的一个特解丫(x)是对应齐次方程y〃+p{x}y'+q(x)y=O的某个解则1)y*"+py*'+qy*=r2)y"+py'+qy=r两式相减:(y-y*)"+p(y-y”'+q(y-y”=o记Y=y-y*,则丫是对应齐次方程y〃+p(x}y'+

3、q(x)y=O的通解y=y*+Y即：y〃+p(x}y'+q(x>y=r(x}，r(x)#O的任何一个解y(x)都可以表示为：y(x)=y*(x)+Y(x)W：非齐次方程的通解=非齐次方程的一个特解+对应其次方程的通解.如何求二阶线性常系数齐次微分方程y-+p(x)y^q(x)y=O的通解？设yM是y〃+p(x)y'+q(x)y=O的解，p、q均为常数则在I内y〃M+py'(x)+qy(x}=0,恒成立所以ypy'、qy必须能够抵消掉，即y、y'、y〃必须是同一类型的蚋数.只能是指数函数令y=#是方程y〃+p/+qy=o(p、q为常数)的解即(k2+/?々+g)eLx=

4、0,可得众2++g=0k2+p/:+g=0是一个一yC一次方程，称为y〃+py'+qy=0的特征方程解一元二次方.k：=+,k2=则与以2对应的y,=.必是y〃+py'+qy=O(p、q为常数)的解但是¥

5、=0'义=/'是否线性无关？【能否构成通解y〃+P/+qy=O(p、q为常数)】分类讨论：1.p2-4t/>0即kj<2是两个不等实根，且&*常数，即y,=#线性无关所以y=C/

6、X+C2，"2.p2-4q

7、^>K=(cos/3x-isinx)复函数用起来不方便，不用其来构造y"+py'+qy=O(p、q为常数)的通解v⑴=丄(e^+e^)=e^cos^x取其线性组合：2久(x)=丄(?'A-e^x)=earsinj0x~2/殳(％)，么⑴是y〃+p/+qy=O(p、q为常数)的解，且欠U)，、(为线性无关.y”+py’+qy=O(p、q为常数)的通解：y(x)=(C{cosfix+C2sinfix)3.p2-4^7=0此吋.即重根，记蚕根为k，yjx):#必足y〃+py'+qy=O(p、q为常数)的一个解求通解，只需再找一个与y,(%)=线性无关的解.将上述这个解表示成y

8、=为待定函数但非常数，代入y〃+py'+qy=O(p、q常数)，WW^[u1*+(2ifc+p)u^(k2+^+^)+w]=0,(k2+pk+q=0,k,=k2=--^所以u"=0.取u(x)=x，则得到y〃+py'+qy=O(p、q为常数)的另一个解y=此时y〃+p/+qy=O(p、q为常数)的通解为y(x)=(C^+C2x)Zv如何求二阶线性常系数非齐次微分方程y〃+P(x}y'+q(x)y=r(x},r(x)*O的通解？山刚开始的分析，只需求出它的一个特解y*(x)设齐次方程通解为yi(x)、>，2(x)是齐次方程的两个线性无关解设非齐次方程奋一个形如>(x)=

9、+的解.上一行十的C„C2已变易为待定阑数接卜‘来的任务是选择Cj(x),C2(x),使)，，(0=(^0：)乂0)+(?20：)}20)是y〃+p(x)y'+q(x)y=r(x>，r(x)#O的一叫^解将y*O)=C,(x)>?j(x)+C2(x)y2(%)代入y"+p(x)y'+q(x>y=r(x}，r(x)#O中得到：y；(x)=C'1(x)yI(x)+C,2(x)y2(x)+C1(x)yI,(x)+C2(x)y2!(x)因为只要求出一个特解，即只要确定一组函数CJxXqCr)，我们就有比较人的fcl由度对C,(X)，C2O)加以限