二阶线性微分方程解的结构

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1、一、二阶线性微分方程解的结构第四模块　微积分学的应用第十三节二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程的解法三、应用举例一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式y+p(x)y+q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.f(x)称为自由项，当f(x)0时，称为二阶线性非齐次微分方程，简称二阶线性非齐次方程.当f(x)恒为0时，称为二阶线性齐次微分方程，简称二阶线性齐次方程.方程中p(x)、q(x)和f(x)都是自变量的已知连续函数.这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含y或y或y，且每项均为y或y或y的一次项，例如y+

2、xy+y=x2就是二阶线性非齐次方程.而y+x(y)2+y=x2就不是二阶线性方程.定理1如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解，y=C1y1+C2y2仍为该方程的解，证因为y1与y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个解，与所以有其中C1，C2是任意常数.则函数于是有y+p(x)y+q(x)y=0所以y=C1y1+C2y2是y+p(x)y+q(x)y=0的解.定义设函数y1(x)和y2(x)是定义在某区间I上的两个函数，k1y1(x)+k2y2(x)=0不失一般性，考察两个函数是否线性相关，我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，事

3、实上，当y1(x)与y2(x)线性相关时，有k1y1+k2y2=0，其中k1,k2不全为0，如果存在两个不全为0的常数k1和k2，使在区间I上恒成立.则称函数y1(x)与y2(x)在区间上是线性相关的，否则称为线性无关.即y1与y2之比为常数.反之，若y1与y2之比为常数，则y1=ly2，即y1-ly2=0.所以y1与y2线性相关.因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；例如函数y1=ex，y2=e-x，所以，它们是线性无关的.如果不是常数，则它们线性无关.定理2如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关的特解，y=C1y1+C2

4、y2是该方程的通解，证因为y1与y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0的解，所以，由定理1知y=C1y1+C2y2也是该方程的解.又因为y1与y2线性无关，即y1与y2之比不为常数，故C1与C2不能合并为一个任意常数，因此y=C1y1+C2y2是二阶线性齐次方程的通解.则其中C1,C2为任意常数.所以它们中任一个都不能用另一个(形如y1=ky2或y2=k1y)来表示.定理3如果函数y*是线性非齐次方程的一个特解，y=Y+y*，是线性非齐次方程的通解.证因为y*与Y分别是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)和线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的

5、解，所以有y*+p(x)y*+q(x)y*=f(x)，Y+p(x)Y+q(x)Y=0.Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则又因为y=Y+y*，y=Y+y*，所以y+p(x)y+q(x)y=(Y+y*)+p(x)(Y+y*)+q(x)(Y+y*)=(Y+p(x)Y+q(x)Y)+(y*+p(x)y*+q(x)y*)=f(x).求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1)求线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的线性无关的两个特解y1与y2，得该方程的通解Y=C1y1+C2y2.(2)求线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y

6、=f(x)的一个特解y*.那么，线性非齐次方程的通解为y=Y+y*.又Y是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，故y=Y+y*中含有两个任意常数.即y=Y+y*是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解.这说明函数y=Y+y*是线性非齐次方程的解，y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(x)，y+p(x)y+q(x)y=f1(x)，和y+p(x)y+q(x)y=f2(x)则是方程①的特解.定理4设二阶线性非齐次方程为①②③的特解，证因为y1*与y2*分别是②与③的特解，y1*+p(x)y1*+q(x)y1*=f1(x)，与y2*

7、+p(x)y2*+q(x)y2*=f2(x).于是有=f1(x)+f2(x)，所以有=[y1*+p(x)y1*+q(x)y1*]+[y2*+p(x)y2*+q(x)y2*]即y1*+y2*满足方程①，二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为y+py+qy=f(x)，其中p、q均为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程.设二阶常系数线性齐次方程为y+py+qy=0.考虑到左边p，q均为常数，我们可以猜想该方程具有y=erx形式的解，其中r为待定常数.将y=r