D65I二阶线性微分方程解的结构

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1、机动目录上页下页返回结束二阶线性微分方程解的结构第五节（1）二、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.机动目录上页下页返回结束据牛顿第二定律得则得有

2、阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:机动目录上页下页返回结束~二阶线性微分方程时,称为二阶非齐次线性微分方程;时,称为二阶齐次线性微分方程.机动目录上页下页返回结束证毕二、二阶线性微分方程解的结构是二阶齐次线性方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)定理1.机动目录上页下页返回结束说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.机动目录上页下页返回结束定义是

3、定义在区间I上的两个函数,使得则称这两个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数机动目录上页下页返回结束线性相关线性无关const机动目录上页下页返回结束定理2.是二阶齐次线性方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)机动目录上页下页返回结束是二阶非齐次线性方程的一个特解,是其对应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得

4、②①复习目录上页下页返回结束