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1、二阶线性微分方程第四节二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构一、二阶线性微分方程举例第八章一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得
2、强迫振动方程:求讨论上抛高度h与时间t的关系。例2.空气的阻力与物体运动的速度成正比（比例系数为k）。解:如右图建立坐标轴（h轴），正向朝上。设物体在时刻t的高度为h(t)。在时刻t受到两个由牛顿第二定律知，力的作用，其一为重力-mg，其二为空气阻力-kv。由导数的物理意义知：以初速度垂直上抛一质量为m的物体，如果从而得到h(t)满足的方程：n阶线性微分方程的一般形式为方程的共性(二阶线性微分方程)例1例2—可归结为同一形式:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y证毕二、二阶线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是
3、该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)定理1.①说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.定义:是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,
4、则必线性相关(证明略)线性无关定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为则三、二阶线性非齐次方程解的结构的两个特解,则定理3.是相应的齐次方程②①设是二阶非齐次方程的一个特解。是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理4.则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非
5、齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例3.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)例4.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三
