线性微分方程解的结构

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1、6.5线性微分方程解的结构一、高阶线性微分方程的一般理论二、二阶常系数齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解一、高阶线性微分方程的一般理论n阶线性方程的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为通常称(2)为(1)的相对应的齐方程。我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至n阶线性方程中。6.5.1函数组的线性无关和线性相关例证由三角函数知识可知，这是不可能的，故例证定理：朗斯基(Wronsky)行列式朗斯基行列式可以推广到n个函数的情形。例1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构定理6.1叠加原理的解，则它们的线性组合也是方

2、程(2)的解，6.5.2线性微分方程的性质和解的结构证的解，则它们的线性组合也是方程(2)的解。推广在什么情况下，叠加所得可以成为方程(2)的通解？(2)二阶齐线性微分方程解的结构定理6.2的两个线性无关的解，则是方程(2)的通解。定理2例解又容易看出：而由叠加原理，原方程的通解为问题：该问题的解决归功于数学家刘维尔。代入方程中，得怎么做？关于z的一阶线性方程即故有两边积分，得关于z的一阶线性方程定理6.3为原方程的通解。则（刘维尔公式）例解由刘维尔公式故原方程的通解为2.二阶非齐线性微分方程解的结构(1)解的性质性质1的一个特解，则是原方程的一

3、个特解。性质2的一个特解，则是方程的一个特解。（定理6.7）性质3是其对应的齐方程的一个特解。性质4的一个特解。（P.328定理6.8）如何求特解？定理6.6的通解，则是方程(1)的通解。由性质1以及通解的概念立即可以得知该定理成立。6.4.3二阶线性微分方程的常数变易法(例6.45略)常数变易法则有令以下推导的前提于是对上式两边关于x求导，得这两部分为零。即联立(3)、(4)构成方程组解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到例解该方程所对应的齐方程为它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为由常数变易法，解方程组两边积分，取积分常数

4、为零，得两边积分，取积分常数为零，得故原方程有一特解从而，原方程的通解为例6.46略例6.47解先将方程变形为所以，对应的齐次的通解为所以，对应的齐次的通解为设原方程的解为由常数变易法知，应有解之得在这一节中所讲述的理论均可推广到n阶线性微分方程中去。所以原方程的通解为