周期系数二阶齐次线性微分方程的次正规解

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1、第卷第期数学学报中文版,年月,,一一文章编号各文献标识码周期系数二阶齐次线性微分方程的次正规解黄志波陈宗煊华南师范大学数学科学学院广州回回二阶一“摘要考虑周期系数齐次线性微分方程’」’几一,,几,和是关之,其中几于的多项式且不全为常数获得其所有次正规解的表示形式关键词线性微分方程次正规解周期系数主题分类中图分类】亡爪。。,牡云云乞二‘几名“,了几入葱一爪乞名葱几爪筋如葱几七“一名‘【【几一‘,,,」几,几,芝引言及主要结果文中,考虑二阶齐次线性微分方程“‘,几,其中和几是关于的多项式且不全为常数众所周知方程的所有解均为整函数见文【」一一收稿日期。今接受日期子基金项目国家自然科学基金广

2、东省自然科学基金资助项目数学学报中文版卷,定义设司为整函数则函数的型级定义为—“、。,定义设葬是方程的解且满足则称为方程的次正,二规解特别地称也是方程的次正规解,,在文【中给出了方程次正规解的一般形式即,之定理如果葬是方程的次正规解其中和几是关于的多项式且不全为常数那么的一般形式为。爪,⋯,,,,,。。其中全是整数⋯是常数且尹,和提升定理的结果,得到方程次在文中正规解的精确,表示即定理设习葬是方程的次正规解,其中和几是关于么的多项式且不全为常数,如果几和几笋那么方程的任一次正规解葬的表示形式为一一“‘,,艺,,。,,,。二其中二全是整数⋯是常数且笋三,如果几和那么方程的任一次正规解必

3、为常数如果几,那三么方程的任一次正规解,定理仅仅讨论了方程的系数满足旁几的情形而对于其系数满足,几的情形我们有定理设是方程的次正规解,其中和几是关于的多项式且不全,为常数如果几全那么的表示形式为一口“。,乳一,,」沪,,其中口和热是复常数和如是关于的多项式,一一名名我们自然会问如果方程的系数和分别用和一‘,,,,,代替其中是关于的多项式且不全为常数方程的次·,正规解具有怎样的表示形式这是在文中和提出的一个公开问题现在,考虑二阶齐次微分方程“名一‘一,所有次,,,正规解的表示形式其中几习和是关于的多项式且不全为常数和、妞在文’获得,,,定理设是方程的次正规解其中和是关于的多项式且不全为

4、常数那么的一般形式为‘。一‘,沪」,和乳是关其中口是复常数于的多项式,下面我们给出方程的精确形式,,,定理设习是方程的次正规解其中习乃习和是关于的多项式且不全为常数三,如果几和几那么方程的任一次正规解必为常数期黄志波等周期系数二阶齐次线性微分方程的次正规解如果几和几笋,那么的表示形式为一名,其中是关于的多项式且,,,定理设是方程的次正规解其中几和目是关于的,二多项式且不全为常数如果几那么方程唯一的次正规解习,,,艺定理设是方程的次正规解其中司几习和司是关于的多项式且不全为常数如果几,全那么的表示形式为一口,乳一口,‘取一,卜」,,,,,其中口凡是复常数是关于的多项式引理引理】设整函数

5、习是阶微分方程,一“,,一‘”一‘‘,一‘,一⋯凡凡,‘,一,,,,一‘,,一的次正规解其中⋯是关于和的多项式且护‘,,,如果可以表示为了沪其中口是复常数在引上解析那么的表示形式为一,一,口乳」,其中口是复常数和是关于的多项式,,,一,,,,,。引理设整函数了是方程的次正规解其中弓⋯一‘,一‘,是关于和的多项式且笋如果和们线性相关那么的表示形式为口‘一‘,。,其中口是复常数和如是关于的多项式二,口‘证明因是整函数且与线性相关那么可以表示为,,,,见文降阅其中口是复常数是引上解析结合引理引理获证,,,引理设和介是方程的两个线性无关的整函数解其中乃习司和是关于的多项式且不全为常数那么司和

6、几中至多有一个是方程的次正规解证明不失一般性,假设是方程的次正规解,儿习是方程的任一其它的解且与习线性无关下面证明,介司不是方程的次正规解,,一‘三十一‘,我们注意到如果为常数和几不恒等于常数由式,有·几一一一尽军根据对数导数引理和式,有饥·,一·。‘,一子一于,,吧,。,因了是方程的次正规解由定义知因此由式·爪,‘一‘数学学报中文版卷,一名名一名,另一方面由于几和均为和的多项式有,一‘,,一名三名一,矛盾从而如果为常数和几不恒等于常数方程,,名一名没有次正规解因此下面的讨论中我们假设并为常数令」才山一戒名︸矛、了、名一,因和九是方程的解有二‘一‘‘一‘’龙。,一了一‘犷几几‘一‘‘

7、石八一‘‘“几。石由此,有一。二。·。卜一卜答癸根据式,有。,··,。,。一爹一一贪三帷,夕‘,,,,一,一,,,其中为某常数由于几和均为和的多项式根据式有三,夕,」,其中和均为常数而是方程的次正规解,结合上式,有不亩竺塑鱼卫二毛叫根据式有,,,,夕兰,,,,因此由式和凡有,、尹尸顶石些兰垫且一‘咤衬衬这表明九不是方程的次正规解引理证毕引理设是超越亚纯,是一个给定的实数,一函数那么存在二,使,其中卜得下面两个结论成立一,二,,二〔存在线测度为零的集合司满足