二阶齐次微分方程解及其解的导数与小函数的关系

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1、应用数学MATHEMATICAAPPLICArrA2Ol5，28(2)：360—367二阶齐次微分方程解及其解的导数与小函数的关系占燕燕，肖丽鹏(江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌330022)摘要：文中研究二阶齐次微分方程的解以及解的一阶，二阶导数和线性微分多项式取小函数的精确估计．关键词：整函数；零点收敛指数；微分多项式；小函数中图分类号：O174．52；O175．12AMS(2000)主题分类：34A20；30D35文献标识码：A文章编号：1001—9847(2015)02—0360—081．引言与结果本文将使用值分布的标准记号[1]．另外，我们用(-厂)和(

2、-厂)表示亚纯函数厂的级和超级，厂)和(-厂)表示()的零点收敛指数和不同零点收敛指数．我们定义：厂卜甄气!一，(厂li⋯ralo—g．r∞L(1rr⋯logr还使用_厂一)表示亚纯函数_厂取小函数的点的收敛指数．考虑二阶线性微分方程-厂+A1()ef+A。()ebzf一0．(1．1)陈宗煊在文L2]中首次对方程(1．1)的解以及它们的一阶，二阶导数，微分多项式取小函数的点的收敛指数作了进一步研究．得到下面结果：定理A假设A，()(≠O)(一0，1)是整函数且a(A)<1，Ⅱ，b为常数且“6≠0和arg“／-argb或“一cb(0

3、程(1．1)的每一个非零解-厂满足(／_。)一(-厂～一)：==(／一)一(．厂)==。。．定理B假设A，()(≠O)(一0，1)是整函数且o(A，)

4、GJJ12207)资助项日作者简介：占燕燕，女，汉族．山西人，研究方向：复分析．第2期占燕燕等：二阶齐次微分方程解及其解的导数与小函数的关系361吴昭君在文[3]中研究了方程厂+A1(z)e+A0()厂一0(1．2)的所有非零解的不动点以及微分多项式的不动点的问题，得到下面结果：定理C没A，()(≠0)(==0，1)是整函数，P()是非常数多项式，满足(A)

5、g()一d。厂十d厂+d。f有无穷多个不动点，满足(g—z)一cx3．一个自然的问题：方程(1．2)的解以及其一阶，二阶导数和微分多项式取小函数的点的收敛指数如何?本文通过对条件进行修改和限制，对这个问题进行了研究，得到以下结果：定理1设A，()(≠0)(一0，1)是整函数，P(z)是首项系数为负实数且次数为(≥1)的多项式，满足(A)

6、(厂一)一2(-厂)．定理2设A，()(≠O)(一0，1)是整函数，P()是首项系数为负实数且次数为(≥1)的多项式，满足(A)

7、l_厂’+⋯+Aof一0的每个非零解()满足(厂)一。。，z(，)≥(A。)．引理2假设A。，⋯，A川，F(≠0)是有限级亚纯函数，若厂()是方程厂+A一1”+⋯+Aof—F的亚纯解且(_厂)===CxD，则有

8、=【(．厂)一(-厂)一(厂)一C×。．引理3设F(r)和G(r)是(O，。。)中的非减函数，如果(i)若除去一个有穷线测度的集合E外有G(r)≤F(r)，那么对任意的a>l，存在TO使得对所有的r≥，都有G(r)≤F()；(ii)当r钲E[21，。。)时，G(r)≤F(r)，其中E[1，C2XD)是一对数测度为有限的