一个(2+1)维KdV方程的自-BT和多重孤立波解.pdf

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1、第卷第期河南科技大学学报（自然科学版）年月（）文章编号：（）一个（）维方程的自和多重孤立波解，，李晓燕，杨德五，李向正，李保安，王明亮（河南科技大学数理系，河南洛阳；兰州大学数学系，甘肃，兰州）摘要：通过引进新的位势函数，导出了一个（）维方程，并利用齐次平稀原则导出了该方程的自变换（），借助获得了（）维方程的多重孤立波解。关键词：方程；非线性变换；多重孤立波解中图分类号：文献标识码：前言［］方程是应用学科中重要的非线性发展方程之一，近年来其各种推广形式，如变系数、复［，］合等已得到深入研究，并受到广泛关注。文献［］中导出了一个（）维方程并给出

2、其多重孤立波解和含有任意函数的解。本文将研究一个（）维方程。首先从（）维方程出发，［］通过引进位势函数，导出了（）维方程，其次利用齐次平衡原则导出该方程的一个自，并获得其多重孤立波解。（）维方程的导出设VV（t，x，y），它作为t，x的函数，满足（）维方程Vt!VVx"Vxxx（）这里y是任意参数。将（）式对y求导得Vyt!（VyVxVVyx）"Vyxxx（）现引进位势函数UU（t，x，y）使VyUx，将其代入（）并记#y!y得Uxt!（Ux#yUx）x"Uxxxx（）关于x对（）式积分，并取积分常数为，则方程（）化为Ut!Ux#yUx"Ux

3、xx（）方程（）称为（）维方程。自的导出下面用齐次平衡原则，导出方程（）的自。考虑方程（）中非线性项和最高阶偏导数项主要部分的平衡，可设式（）的解具形：U（t，x，y）#x#y（f$）U（t，x，y）f（$）$x$yf（$）$xyU（t，x，y）（）将（）代入（）的左端整理得（其中未写出的部分是（t，x，y）各阶偏导数的三次多项式$$（）Ut!Ux#yUx"Uxxx（!f!f"f）$x$y⋯（）令（）式中的系数为，得（f）满足的常微分方程：$x$y$（）!f!f"f（）"（）有一解：（f$）$（）!求f的各阶导数并将导数的非线性项化为线性项，

4、整理后代入方程（）的左端整理得：基金项目：河南省自然科学基金资助项目（）；河南科技大学基金资助项目（）作者简介：李晓燕（），女，四川广元人，讲师收稿日期：第3期李晓燕等：一个（2+1）维KCV方程的自-BT和多重孤立波解·109·-1++=-1-1212[（++）-（++）+3（-）]2（9）由此得出结论：若（9）的分子为零，即只要（，，）满足=-1-12（++）-（++）+3（-）=0（10）12则=（II）+（，，）（11）为（2+1）维KCV方程（4）的解。（10）和（11）构成了方程（4）的一个自-BT。其意义是：若=（，，）是（4）

5、的已知特解，只要=（，，）是方程（10）的非常数解，则（11）就是（4）的另一解。!单孤立波解-1设=常数，=0，此时方程（10）变为2（+）-（+）+3（-）=0（12）设=1+e，=++（），其中：，为任意常数，（）为的任意可微函数。33-+（）对求导代入（12）得：=-，（13）=1+e将（13）代入（11）从而得到方程（4）的单孤立波解：33'（）2-+（）=Sec（14）2"多重孤立波解为了得到一般的多重孤立波解，本文使用-展开法解方程（12），设（1）（2）2（3）3（，，）=1++++⋯（15）（）这里（=1，2，3，⋯）随后被

6、确定，是一个小参数。将（15）代入（12），将含有相同幂的项合并在一（）起，令的系数为零，得到了（=1，2，⋯）满足的方程组：（1）（1）：（+）=0（16）2（2）（2）（1）（1）（1）2：（+）=3［（-（）］（17）3（3）（3）（1）（2）（2）（1）（2）（2）（1）（2）（2）（1）（1）（2）：（+）=（+）-（+）+3+3-6（18）值得注意的是（16）~（18）中每一个方程都有线性结构，后一个方程的右边依赖于它前面所有方程的（1）（）解。因此，由给出的通过解相同类型的方程能够得到（=2，3，⋯）。下面说明解上述方程组的方法

7、：由于（16）为线性方程，必有指数形式的解，故可求得：（1）3=!，=exp，=-+（），=1，2，⋯，（19）=1（2）（3）这里是任意常数，（）是的任意可微函数。那么由（16）~（19）知：只含所有的（"）；（）含有（""），⋯，而只含12⋯项。因此方程（12）的解具有如下的形式：（，，）=1+!+!+!+⋯+1，2，⋯，12⋯（20）=1"""将（20）代入（11），可得方程（4）的重孤立波解。下面讨论=2，3时的情况。"#$二重孤立波解=2时，仿上面的做法可求得（16）的一个解：（1）3=1+2，=exp，=-+（），=1，2（21）

8、（2）1-22将（21）代入（17）得一解：=（+）12（22）12（3）（3）将解（22）代入（18）得：（+）=0（23）·110·河南科技大学学报（自然科学版