分析力学初步-拉格朗日方程.pdf

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1、分析力学初步-拉格朗日方程主要内容一．牛顿力学的局限性和分析力学的建立二．非自由质点系的约束和广义坐标三．达朗贝尔方程四．拉格朗日方程五．对称性和守恒定律六．应用一．牛顿力学的局限性和分析力学的建立牛顿力学：以牛顿定律和力的独立作用原理为力学的基本原理----------矢量力学研究方法：（1）必须知道作用在体系上的所有的力。∵出现在体系基本方程中的力是所有力的合力（2）若质点系受到约束成为非自由质点或质点系，则需要给出约束方程（3）约束反作用力：将约束去掉，用其约束力的反作用力表征系统所受的力，使系统称为自由系统注意：约束反作用力（约束反力）并不完全取决于

2、约束本身，而与作用在指点上的其力以及质点本身的运动状态有关单靠约束反力本身不能起到引起质点的任何运动约束反力：被动力or约束力（4）质点的运动方程为：dr2mF(,,)rrtRR约束反作用力！dt2一般情况下R是未知的，因此构建关于R的显式是非常困难的！（5）3n个牛顿力学方程+k个约束方程3nk方程（二阶微分方程）思考方法：（1）约束增加，系统的自由度减少；若有k个约束则自由度为3nk，（2）以描述自由度的方程出现（3）约束不再出现方程中---------《分析力学》例：质点m被约束在一个光滑的平面上运动，质点上系着一根长度为l的

3、轻绳，绳子穿过平面上的小孔o，另一端系着质量为m的指点，讨论质点m的运动情况mRR()2FTmR(2R)0约束方程：RZlmzFTmgR0m独立方程个数：33nk2170mzm0目的建立一种新的形式，使约束力和非独立坐标不出现在方程中使写出的方程就是我们要直接求解的3nk个方程完成目标之过程（1）在方程中不出现约束力-----达朗贝尔方程（d’AlembertEquation）,但非独立坐标依然出现（2）既不出现约束力又不出现非独立坐标-----拉格朗日方程（Lag

4、rangeEquation）二．非自由质点系的约束和广义坐标1．虚位移：矢量：rrt()在dt时间内的位移为dr想象在某一时刻t质点发生了一个约束许可的无限小的位移这个位移不是由于质点的实际运动所产生的，它不需要时间，这种位移称为虚位移用r表示例：设n个质点组成的系统，受到一个约束（完整约束）约束方程为：fxx(,,xt,)0123n在t时刻的矢径为rt()，tdt时刻的矢径为rtdt()，则drrtrtdt()()无论在t时刻还是在tdt时刻系统地坐标必须满足上述约束方程虚位移是设想上述的位置作了一个微小的位移，由(,

5、,xx12x3n)到达(,,xx11xxxx2233nn)但位移后必须满足fx(,,xxxxxt,)0112233nn这个设想的位移(,,,)xx12x3n不经历时间，因此称为虚位移性质：（1）虚位移无限小，具有极限的特点（2）只是想象中可能发生的，不是由质点的实际运动产生的（3）它只决定于质点在时刻t的位置和加在它上面的约束（4）由于只考虑到一个时刻t，时间没有改变因此t0（5）实际位移只有一个，但虚位移可以不止一个实位移与虚位移的比较虚位移实位移共同点满足约束的限制条件满足约束的限制条件不同点（1）与质点或质点

6、系的实际运动无关，只是一（1）是质点或质点系由于实际运动而产生的位种几何概念，即从几何上说明位移的可能移，因而在任何确定的时间内只有一个。性，可能有多个或无穷多个。（2）是在一段时间内所完成的，与作用在质点或（2）与时间过程、作用力以及质点或质点系运质点系上的力有关，与运动的初始条件有关动的初始条件等均无关表示方法(,,,)xx12x3n变分符号(,,,)dxdx12dx3n微分符号相互关系（1）在稳定约束的条件下，实际位移是虚位移中的一个（2）在非稳定约束条件下，由于约束在一段时间内也发生了变化，因此，实位移不再是虚位移中的一个2．约束的概念和分

7、类：约束：限制力学体系中各点运动的条件，其方程成为约束方程用fxx(,,12xt3n,)0表示约束的分类：（1）稳定约束和非稳定约束：a．稳定约束：约束方程中不显含时间即fxx(,,x)0123nb.非稳定约束：约束方程中显含时间即fxx(,,x,)0t123n例如：单摆：约束方程为222xyl固定曲面上运动的质点：约束方程为fxx(,,12x3n)0曲柄连杆：AB所受的约束：（1）A只能作圆周运动（2）AB间距离为l（3）B沿轨道作直线运动约束方程：222xylAA222()xx()yylBABAy0B摆长l随时间变化：

8、初始时刻为l0，以速度v拉动绳子的另一端。约束方程：