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1、第二章拉格朗日运动方程§2.1约束广义坐标§2.2达郎贝尔原理§2.3完整约束拉格朗日方程§2.4非完整约束的拉格朗日方程§2.5对称性和守恒定律§2.1约束广义坐标一、约束与分类1、约束：限制各质点自由运动的条件。2、分类(1)几何约束和运动约束(微分约束)几何约束:fi(r1,r2,…rn,t)=0运动约束:fi(r1,r2,…rn,v1,v2,…vn,t)=0(i=1,2,…k)式中k为约束个数,独立约束的个数≤3n。(2)稳定约束和非稳定约束稳定约束:约束方程不显含t的约束。非稳定约束:约束方程显含t的约束。例：稳定的几何约束：fi(r1,r2,…rn
2、)=0稳定的运动约束:fi(r1,r2,…rn,v1,v2,…vn)=0(i=1,2,…k)(3)可解约束和不可解约束不可解约束：约束方程为等式。可解约束：约束方程可在一个方向偏离等式。例：不可解几何约束：fi(r1,r2,…rn,t)=0可解几何约束：fi(r1,r2,…rn,t)≥0或≤0。(4)完整约束和非完整约束非完整约束:有两种情况(a)可解约束;(b)微分约束中若约束方程不能单独积分(必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的同时才能积分).完整约束:除上述两种情况外的约束.今后主要研究受完整约束的力学体系,即研究完整系的力学问题.例1：一球面摆，O
3、点固定；OM为轻刚性杆，杆长为l；M点系一质点，其质量为m。设O点为直角坐标原点，则质点M的约束方程为：x2+y2+z2-l2=0它是稳定、不可解、几何、完整约束。若O点不固定，在x方向有一恒定速率c，t=0时O点处于坐标原点，则约束方程为:(x–ct)2+y2+z2-l2=0它是非稳定、不可解、几何、完整约束。OMl例1：一球面摆，O点固定；OM为轻刚性杆，杆长为l；M点系一质点，其质量为m。若OM为不可伸长的柔软绳，则约束方程为：O点固定：x2+y2+z2-l2≤0O点不固定：(x–ct)2+y2+z2-l2≤0它是可解约束。约束空间为以O为球心、l为半径
4、的球体。OMl例2：线性三原子分子组成的体系只能在该连线上运动。体系在无外力作用。分析：体系的质心速度为常数，即约束方程为：vC=C（微分约束）积分得：xC=Ct+xCox1m2m3m1x2x3§2.2达郎贝尔原理一、虚位移假想的、符合约束条件的、无限小的、即时的位置变更，δr.注意:(1)某一固定时刻,即:dt=0.(2)与实位移dr无关.理解:dr=δr+vodt当v→∞,dt→0,dr→δr.BB’B”Adrδrvvodt’vodt”voAOxyD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x1,y1)P1P2βαAOxyD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x
5、1,y1)P1P2βα§2.3完整约束拉格朗日方程AOyxD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x1,y1)P1P2βα对于非理想约束的处理：理想约束的条件是从实际约束的主要因素中抽象出来的，在理想约束不满足的情况下，可增加主动力和约束力而视为理想约束。具体处理方法是：把非光滑约束中起限制作用的法向分量视为约束力，而将起限制作用的切向分量——摩擦力视为待求的主动力。例:轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝，以匀角速ω绕轴转动，一质量为m的小环，套在此金属丝上，并可沿着丝滑动。求小环在x方向的运动微分方程。已知抛物线方程为x2=4ay，式中a为常数。ωmgvrxxo
6、y§2.4非完整约束的拉格朗日方程§2.4非完整约束的拉格朗日方程mlθmlθ§2.5对称性和守恒定律§2.6拉格朗日方程的应用拉格朗日方程是运动微分方程的一种表述形式，其优点有：对约束的处理使方程数减少；表述形式统一；适用范围普遍；用标量能量函数描述运动易于处理;处理方法可归纳为一种固定格式，易于掌握。
