最新理论力学-拉格朗日方程幻灯片.ppt

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1、理论力学-拉格朗日方程§7–3拉格郎日方程的第一积分§7–1动力学普遍方程动力学第七章拉格郎日方程§7–2拉格郎日方程目录§7-1动力学普遍方程式称为惯性力。上式表明：在理想约束下，质点系在任一瞬时，作用的主动力和假想的惯性力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。取固定直角坐标系，将上式投影得：以上二式称为动力学普遍方程或达朗伯——拉格朗日方程。§7-1动力学普遍方程动力学普遍方程消去了所有理想约束的约束反力，因而特别适合于求解非自由质点系的动力学问题。应用动力学普遍方程求解动力学问题与用虚位移原理求解静力学问题的方法基本相同，只要在系统上虚加惯性力，并将惯性力视为主动力

2、即可。由动力学普遍方程可得到若干个独立的二阶微分方程，方程的个数等于质点系的自由个数。因此，动力学普遍方程给出了任意多个自由度系统的全部运动微分方程，任何其它动力学方程都可作为它的特殊情况推导出来。§7-1动力学普遍方程例题7-1一瓦特调速器的结构如图所示。每一飞球质量为m1，重锤质量为m2，各铰连杆的长度为l，T形杆宽度为2d。调速器的轴以匀角速ω转动。求飞球张开的角度α。OCddBAααω例题7-1§7-1动力学普遍方程例题7-1例题7-1§7-1动力学普遍方程此为一个自由度质点系，选角α为广义坐标。球简化为质点，除主动力外，图上画出了飞球的惯性力F*A和F*B

3、，两力大小相等，方向相反。由动力学普遍方程得(a)解：OCyxddδrCδrAδrBBAααm1gm1gm2gF*AF*Bω例题7-1§7-1动力学普遍方程各质点的虚位移可用广义坐标的变分表示OCyxddδrCδrAδrBBAααm1gm1gm2gF*AF*Bω例题7-1§7-1动力学普遍方程此式建立了调速器相对平衡位置α与转速ω的关系，可用来作为选择调速器参数的依据。代入式（a）得求得OCyxddδrCδrAδrBBAααm1gm1gm2gF*AF*Bω(a)例题7-1§7-1动力学普遍方程例题7-2在图所示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为m1的重物，绳子绕过定

4、滑轮后悬挂着质量为m2的重物。设滑轮和绳子的重量以及轮轴摩擦都不计，求物体下降的加速度。m1gm2ga1a2例题7-2§7-1动力学普遍方程例题7-2例题7-2§7-1动力学普遍方程给系统以虚位移δs1和δs2，由动力学普遍方程，得m1gm2ga1a2δs1δs2解：取整个滑轮系统为研究对象，系统具有理想约束。系统所受的主力为重力m1g和m2g，假想加入系统的惯性力，。例题7-2§7-1动力学普遍方程这是一个自由度系统，所以δs1和δs2中只有一个独立的。由定滑轮和动滑轮的传动关系，有消去δs2，得代入前式，有m1gm2ga1a2δs1δs2例题7-2§7-1动

5、力学普遍方程§7-2拉格朗日（Lagrange)方程拉格朗日方程保守系统的拉格朗日方程§7-2拉格朗日方程一、概述应用动力学普遍方程，求解较复杂的非自由质点系的动力学问题常不很方便，这是因为由于系统存在约束，所以这种方程中各质点的虚位移可能不全是独立的，这样解题时还需寻找虚位移之间的关系。但是，如果改用广义坐标，来描述系统的运动，将动力学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的运动微分方程，这就是著名的拉格朗日方程，用它求解较复杂的非自由质点系的动力学问题常很方便。§7-2拉格朗日方程设由n个质点组成的质点系，受到s个理想、完整约束，因此

6、该系统具有k=3m-s个自由度，可用k个广义坐标q1,q2,…,qk来确定该系统的位形。在非定常约束下，系统中任一质点的矢径可表示成广义坐标和时间的函数，即对上式求导，得该质点的速度上式中的，称为广义速度。由以上可知仅是广义坐标和时间的函数。二、拉格朗日方程的推导§7-2拉格朗日方程仅是广义坐标和时间的函数，将式（1）二端对广义速度求偏导，注意到是彼此独立的，与则有拉格朗日第一变换式质点的速度（1）将式（1）对任一广义坐标求偏导，有（2）与无关。§7-2拉格朗日方程拉格朗日第一变换式（2）再对时间t求导得式（3）右边与式（2）右边比较可得关系式所以有拉格朗日第二变换式对

7、任求偏导，（3）§7-2拉格朗日方程代入动力学普遍方程对矢径求变分，得有广义力记为Qj广义惯性力记为Q*j这样动力学普遍方程可写为§7-2拉格朗日方程代入上式有广义惯性力因为所以§7-2拉格朗日方程广义惯性力利用前面的二个拉格朗日变换式有系统的动能T系统的动能T§7-2拉格朗日方程广义惯性力系统的动能T系统的动能T故广义惯性力的最后变形形式为§7-2拉格朗日方程广义惯性力的变形形式代入前面所得动力学普遍方程的转化式有对于完整系统，广义虚位移δqj都是独立的，并具有任意性，所以为使上式成立，则有由此可得一般完整系统的拉格朗日方程§7-2拉格