理论力学9-拉格朗日方程

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1、第九章拉格朗日方程运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多，方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力的动力学方程？将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。9-1动力学普遍方程9-1-1方程的建立9-1-2典型问题1.一般形式n个质点。对有9-1动力学普遍方程9-1-1方程的建立给,则有而双面理想约束故有动力学普遍方程或达朗贝尔－拉格朗日原理(9-1)不论约束完整，定常与否均适用。则有2.广义坐标形式设完整约束系统有k个自由度，可取为广义坐标。9-1动力学普遍方程9-1-1方程的建立则代入

2、式(9-1),交换i，j次序，得广义主动力广义惯性力式中因各线性无关故有(9-2)等价形式仅(9-3)9-1-1方程的建立9-1动力学普遍方程式中包含了惯性力虚功!9-1-2典型问题1.已知重量轮转动惯量，求加速度?加惯性力，受主动力如图。给连杆，则由有9-1动力学普遍方程1.由动能定理求导，如何求解?2.如何求约束力?2.已知重量轮纯滚,水平面光滑,求三棱柱加速度。9-1-2典型问题9-1动力学普遍方程加惯性力，受力如图。选广义坐标。由有即(a)又由有9-1动力学普遍方程9-1-2典型问题式(a)代入(b),可得令时，牵连惯性力并不为零；令时，相对惯性力并不为零，两者相互独立

3、。(b)即9-1动力学普遍方程9-1-2典型问题3.均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连，并多圈缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。图(a)9-1动力学普遍方程9-1-2典型问题自由度k=2的理想约束系统，取两轮转角为广义坐标，其受力与运动分析，如图(b)所示，图(b)令，由(a)有(b)9-1动力学普遍方程9-1-2典型问题将式(a)及代入(b)式，得(c)再令由有联立(c)和(d)式，可得即(d)图(b)9-1-2典型问题9-1动力学普遍方程对于多自由度动力系统，加上主动力和惯性力后，各独立虚位移可任意给定，与受力状态无关。1.如何

4、求绳的张力?圆柱纯滚的条件?2.用动力学普遍定理如何求解?3.计入滑轮A质量,结果有何变化?9-1-2典型问题9-1动力学普遍方程9-2拉格朗日方程对于完整约束系统，动力学普遍方程为不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。9-2-1两个经典微分关系第九章拉格朗日方程将能量化导出拉氏方程。9-2-2拉氏方程基本形式9-2-4拉氏方程的应用再对广义速度求偏导数，得式(9-7)表明，可对的分子与分母“同时消点”。因对时间t求导数，得(9-6)(9-7)“同时消点”证明:9-2-1两个经典微分关系9-2拉格朗日方程n个质点，s个完整约束，k＝3n－s，2)“交换关系”(求导)将式(

5、9-6)两边对广义坐标证明:求偏导数，有而比较以上两式，可得(9-8)式(9-8)表明,可对求导“交换关系”。9-2拉格朗日方程9-2-1两个经典微分关系9-2-2拉氏方程基本形式9-2拉格朗日方程为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量，为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，需2k个初始条件。故关于的计算由(见下述例题中)(仅δqi≠0时，计算所有主动力虚功)9-2拉格朗日方程9-2-2拉氏方程基本形式9-2拉格朗日方程9-2-3势力场中的拉氏方程若有势主动力引入拉格朗日函数又称动势。注意，有:此为势力场中第二类拉氏方程，是关于k个广义坐标的二阶常微分方程组。则有9-2

6、拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用1.图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆AB与两轮心铰接。已知微分方程及圆频率。试求系统微振动应用拉格朗日方程求解受约束系统的动力问题，首先需要判断约束是否完整，这是应用拉氏方程的前提；其次看主动力是否有势，由此选择拉氏方程形式。9-2拉格朗日方程，代入拉氏方程中，有即为所求微分方程。系统自由度为1。取轮心B沿斜面位移x为广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，系统动势9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用1.此处势能V为什么与弹簧初始变形和重力无关?2.试用动能定理求解例1，并比较两种方法的异同。与简谐振动微分方程对比可知振动圆频率

7、9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用本系统为完整约束，主动力非有势，采用基本形式的拉氏方程求解。2.如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为J，其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度①判断系统的自由度，取广义坐标。本题中，，取为广义坐标，9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用②计算系统的T与则有9-2拉格朗日方程9-2-4拉氏方程的应用③代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。代入中，得(a)代入中，得(b)④解方程，求加速度。，得9-2拉格朗日方程9-