拉格朗日动力学

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1、第八章拉格朗日动力学§8.1基本方程及其简单应用●基本方程L=T-V理想约束的完整有势系统d∂L∂L−=0,=1,2,⋯,sdt∂q˙∂q存在非有势力的理想约束的完整系统d∂L∂L−=Q,=1,2,⋯,sdt∂q˙∂q注：通常约束力不出现在动力学方程中；方程组的数目等于自由度数;每一个方程都是二阶常微分方程●简单应用处理问题的基本步骤（套路固定）：(1)判断是否为理想约束的完整有势系统(2)判断系统自由度并选择合适的广义坐标(3)将L=T-V表示成只含广义坐标、广义速度和时间的函数*(4)对于有势系统，将L代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程(5)对于非有势系统，还通

2、过定义要求出非有势力对应的广义力，连同L一起代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程注：从处理问题角度来看，拉格朗日方法比较规范，不需要太多的技巧。不像牛顿方法对同一个问题的处理可以采用多种方案.例题1质量为m的质点，被约束在半顶角为α的光滑固定圆锥面上运动，试通过拉格朗日方程,写出质点的运动微分方程.解：此为理想约束完整有势系.建立图示本征系Oxyz以及取柱坐标ρ,θ,z面内运动自由度为2，可选ρ,θ为广义坐标.v=˙e˙ez˙ezm2222⇒T=˙csc˙=ztan2V=mgz=mgcotm2222L=T−V=˙csc˙−mgcot222

3、代入拉格朗日方程得到¨csc−˙gcot=02˙d2=0⇒˙=const.dt例题2求弹簧摆的振动方程.已知质量为m的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定于点O并能在xy面内自由旋转.弹簧的自然ρ长度为l，劲度系数为k.解：理想约束完整有势系.自由度为2，选极坐标ρ,θ为广义坐标.m222k2T=˙˙,V=−mgcos−l22mg将L=T-V代人拉格朗日方程可得...2k¨−˙−gcos−l=0m¨2˙˙gsin=0大角度摆对于在小角度平衡位置附近的微振动，上述方程可化为...gkmg¨=0,¨=0,其中l0=

4、l,=−l0lmk0§8.2守恒定律●对称性与守恒量的关系【定义】对称性：力学系统在坐标或时间的变换下的不变性。反映为在该变换下系统的拉格朗日函数不变.例如：若∀,Lx,y,z,x˙,y˙,z˙,t=Lx,y,z,x˙,y˙,z˙,t我们说系统在x方向的平移（变换）下不变，即具有对称性容易证明，这等价于说∂L/∂x=0.【定义】连续变换：变换过程中系统的坐标或时间可以表示成随某个参数连续变化的形式.0例如：qQ,Q=q,且limQ=Q0t,0=t,且lim=0【诺特定理】对于系统相应于连续变换的对称性，总有一个系统

5、的守恒量与之对应.证明：首先就空间对称性部分证明.即考虑变换0qQ,Q=q而不对时间进行变换,即时间与参数无关我们无非是选了另外一套广义坐标而已0Q˙0记号：Q˙dQ'Q−Q'−Q˙≡,Q≡lim,Q˙≡limdt00ϵϵϵ0L=L(Qα,Q˙α,t),L=L(qα,q˙α,t)对称性意味着变换前后系统的拉格朗日函数不变，即L()=L(0)ϵ00=lim(L−L)=⋯=∑∂LQ'∂LQ˙'ϵ∂q∂q˙ϵ→0d∂L'⇒∑Q=0∂Ld∂Ldt∂q˙拉格朗日方程=∂qdt∂q˙∂L'⇒∑Q=const.∂q˙下面

6、考虑对时间的变换，为了用上面证明已有的结果，我们可以把时间看成某个假想的变量χ的函数:t=t(χ)记t'=dt/dχ,q=qt,则dqdq1dq=t'=q˙t'⇒q˙=ddtt'dt222dqS=∫Lq,q˙,tdt=∫Lq,q˙,tt'd≡∫Lq,,t,t',dt111d于是我们得到了一个扩展的力学系统，它以和qt为广义坐标，新的拉格朗日函数为L.0考虑对时间的变换，上页的证明思路t,=t仍然有效，可得0∂L−'=const.其中'≡lim∂t'0L=Lq∂L∂L∂q˙

7、,q˙,tt'⇒=∑t'L∂t'∂q˙∂t'∂L⇒L−∑q˙'=const.1dq∂q˙1dqq˙∂q˙q˙=⇒=−=−t'd∂t'2dt't'证毕.●广义动量和广义动量积分∂L∂rn【定义】广义动量p=注：可证明p=∑nmnvn⋅∂q∂q˙【定义】广义坐标平移变换：qQ=q,q≠q【推论】若力学系统具有某广义坐标的平移不变