几道导数题引发的解题思考.pdf

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1、学科教学2013年3月18日几道导数题引发的解题思考文/周焕普例1援已知定义在正实数集上的函数（fx）=1x2+2ax，g（x）=3a2lnx+单调递增，在（1，+肄）上单调递减，亦当x沂（0，+肄）时（fx）约（fl），2亦lnx约x-1对一切x沂（0，+肄）成立，ln（1+x）对一切x沂（0，+b，其中a跃0援设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线肄）成立，相同援11疫n逸2，n沂N*，则有ln（1+）约（1）用a表示b，并求b的最大值；n2n2（2）证明：对于定义域内的任意x都有（fx）逸g（x）.1111111亦l

2、n（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）约++…+约2232n22232n21伊2解：（1）设y=f（x）与y=g（x）的公共点为（x0，y0）.3a2+1+…+1=（1-1）+（1-1）+…（1-1）=1-1约1疫f（忆x）=x+2a，g（忆x）=，由题意（fx0）=g（x0），f（忆x0）=g（忆x0）.2伊3（n-1）n223n-1nnx2方法总结：强化变形技巧，所谓“强化变形技巧”是指对于给即1x20+2ax0=3a2lnx0+b，x0+2a=3a.2x0出的不等式直接证明无法下手，比如得到重要的不等式“lnx约x-3a21”，还应考

3、虑对不等式进行必要的处理后，再去证明.例如采用两由x0+2a=得：x0=a或x0=-3a（舍去）.x0边取对数（指数），移项通分，等等.要注意变形的方向：因为要利用即有b=1a2+2a2-3a2lna=5a2-3a2lna.函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现的函数关系式22“ln（x+1）约x”.令h（t）=5t2-3t2ln（tt跃0），则h（忆t）=2（t1-3lnt）.2函数解题技巧点睛：纵观2012年各地的高考题，导数常见的1考点可分为九个方面，一是导数的几何意义的应用如求切线方当（t1-3lnt）跃0，即0约t约e3时，h（忆t

4、）跃0；程，二是导数运算和解不等式相联系比如分类讨论求单调区间，1当（t1-3lnt）约0，即t跃e3时，h（忆t）约0.三是利用导数研究函数的单调性，四是利用导数研究函数的极11故h（t）在（0，e3）为增函数，在（e3，+肄）为减函数，值，五是利用导数研究函数的最值，六是利用导数研究不等式的132综合问题如恒成立问题，七是利用导数研究实际应用问题的最优于是h（t）在（0，+肄）上的最大值为h（e3）=e3，即b的最大2化问题，八是微积分的应用如求面积，九是导数与向量、与圆锥曲2值为3e3.线的综合求最值问题，总之用导数研究函数的单调性、极值

5、与最2值结合题目为最主要考向.（2）F（x）=f（x）-g（x）=1x2+2ax-3a2lnx-b（x跃0），在函数的解答题中很重要的一类是研究不等式或是研究方23a2（x-a）（x+3a）程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等则F（忆x）=x+2ax-=（x跃0）.xx式（实际上就是证明这个不等式），研究不等式在一个区间上成立所以F（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+肄）上为增函数，时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角于是函数F（x）在x=a时有极小值F（x）极小=F（a）=F（x0）=f（x0）-

6、函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依g（x0）=0，据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进即F（x）在x=a最小值为F（a）=F（x0）=f（x0）-g（x0）=0，行解决援所以对于定义域内的任意x都有（fx）逸g（x）.在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题.因为导数的方法总结：巧妙构造函数，所谓“巧妙构造函数”是指根据不引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行解决，最常用的楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.是构造函数F

7、（x）=f（x）-g（x），当然在构造函数的时候注意灵活多原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.样，体现一个个的“巧妙”！从以上两道例题总结解题技巧如下：例2.已知函数（fx）=lnx-ax-3（a屹0）.（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某（1）讨论函数（fx）的单调性；些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服（2）求证：ln（1+1）+ln（1+1）+ln（1+1）+…+ln（1+1）约1务于第二问要证明的不等式.223242n2（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不（n逸2，n

8、沂N*）.等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形1解：（1）当a跃0时，（fx）的单调增区间为（0，），（fx）的单调减后，再去证明.