导数题的解题技巧

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1、导数题的解题技巧导数命题趋势:综观历届全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点:多项式求导,和求斜率问题.求极值,函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题.1.了解导数概念的某些实际背景;掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会求一些实际问题的最

2、大值和最小值.考点1  导数的概念对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.例1.是的导函数,则的值是 .[考查目的]本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.[解答过程] 故填3.例2.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是A.  B.C.D.[1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.[解答过程]由综上可得MP时,  考点2  曲线的切线关于曲线在某一点的切线求曲线y=f在某一点P的切线,即求出函数y=f在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.关于两曲线

3、的公切线若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.典型例题例3.已知函数在区间,内各有一个极值点.求的最大值;当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象,求函数的表达式.思路启迪:用求导来求得切线斜率.解答过程:因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以 在,内分别有一个实根,设两实根为,则,且.于是,,且当 ,即,时等号成立.故的最大值是16.解法一:由知在点处的切线的方程是,即,因为切线在点处空过的图象,所以在两边附近的函数值异号,则不是的极值点.而 ,且.若,则和都是的极值点.所以,即,又由,得,故.解法二:同解法一得.因为切线在点处

4、穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,于是存在.当时,,当时,;或当时,,当时,.设,则当时,,当时,;或当时,,当时,.由知是的一个极值点,则,所以,又由,得,故.例4.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为A.  B. C.  D.[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.思路启迪:利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值.解答过程:,因为函数在及取得极值,则有,.即解得,.由可知,,.当时,;当时,;当时,.所以,当时,取得极大值,又,.则当时,的最大值为.因为对于任意的,有恒成立,所以 ,解得 或,因此的取值范围为.例9

5、.函数的值域是_____________.思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。解答过程:由得,,即函数的定义域为.,又,当时,,函数在上是增函数,而,的值域是.例10.已知函数,其中为参数,且.当时,判断函数是否有极值;要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;若对中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围.[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,

6、考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.[解答过程]当时,,则在内是增函数,故无极值.,令,得.由,只需分下面两种情况讨论.①当 时,随x的变化的符号及的变化情况如下表:x 0 + 0 - 0 +↗ 极大值↘ 极小值 ↗因此,函数在处取得极小值,且.要使,必有,可得.由于,故.②当时,随x的变化,的符号及的变化情况如下表:+ 0 - 0 +极大值 极小值  因此,函数处取得极小值,且若,则.矛盾.所以当时,的极小值不会大于零.综上,要使函数在内的极小值大于零,参数的取值范围为.解:由知,函数在区间与内都是增函数。由题设,函数内是增函数,则a

7、须满足不等式组或由,参数时时,.要使不等式关于参数恒成立,必有,即.综上,解得或.所以的取值范围是.例11.设函数f=ax-ln,其中a-1,求f的单调区间.[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力[解答过程]由已知得函数的定义域为,且当时,函数在上单调递减,当时,由解得、随的变化情况如下表- 0 +极小值  从上表可知当时,函数在上单调递减.当时,函数在上单调递增.综上所述:当时,函数在上单调递减.当时,函数在上单调递减,函数在上单调递增.例12.已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过

8、点,,如图所示.求:的值;的值.[考查目的]本小题考