微积分CH5_5定积分的应用.ppt

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1、四、经济应用举例三、立体体积第五节一、微元法二、平面图形的面积定积分的应用www.themegallery.com表示为一、微元法1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“分割，求和，取极限”定积分定义机动目录上页下页返回结束一个整体量;用微元法解决实际问题，所求量U应满足以下条件：www.themegallery.com解决步骤：第一步由分割写出微元。求出相应于区间微元的部分量的微分表达式第二步由微元写出积分。这种分析方法成为元素法(或微元分析法)近似值第二节目录上页下页

2、返回结束www.themegallery.com二、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则机动目录上页下页返回结束边梯形面积为A,右下图所示图形面积为www.themegallery.com例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:由得交点机动目录上页下页返回结束www.themegallery.com例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束www.themegallery.com例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的

3、参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束www.themegallery.com2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动目录上页下页返回结束www.themegallery.com例4.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,则所求面积为机动目录上页下页返回结束www.themegallery.com例5.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线目录上页下页返回结束www.themegallery.com

4、对应从0变例6.计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停机动目录上页下页返回结束到2所围图形面积.www.themegallery.com三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动目录上页下页返回结束上连续,www.themegallery.com特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有机动目录上页下页返回结束www.themegallery.com例7.计算由椭圆所围图形绕

5、x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束www.themegallery.com方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下页返回结束www.themegallery.com例8.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:由得交点机动目录上页下页返回结束www.themegallery.com例9.求曲线所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积。解:由绕x轴旋转所成旋转体的体积：机动目录上页下页返回结束得交点www.the

6、megallery.com绕y轴旋转所成旋转体的体积：机动目录上页下页返回结束www.themegallery.com例10.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.机动目录上页下页返回结束www.themegallery.com思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:机动目录上页下页返回结束www.themegallery.com内容小结1.平面图形的面积边

7、界方程极坐标方程直角坐标方程机动目录上页下页返回结束2.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积www.themegallery.com练习：定积分求圆绕x轴上半圆为下求体积:提示:利用对称性机动目录上页下页返回结束旋转而成的环体体积V.www.themegallery.com