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《历年高考理科数学真题演练分类解析：立体几何的向量方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、【考点14】立体几何的向量方法1．（2009·上海卷·理19）（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，，⊥，求二面角的大小．2．(2009·天津卷·理·19)如图,在五面体中，，，为的中点，．(Ⅰ)求异面直线与所成的角的大小;(Ⅱ)证明平面平面;zyxE1G1(Ⅲ)求二面角的余弦值．3．(2009·广东卷·理·18)如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影．（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值．4．(2009·福建卷·理·17）如图，四边形ABC
2、D是边长为1的正方形，，，且MD=NB=1，E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由5．（2009·安徽卷·理·18）（本小题满分13分）如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．（I）求二面角B-AF-D的大小；（II）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积．6．（2008江苏，22）如图（1），设动点在棱长为1的正方体的地角线上，记．，当∠为钝角时，求的取值范围．7．（20
3、08辽宁，19）如图（2），在棱长为1的正方体，（0<<1），截面∥，截面∥（1）证明：平面和平面互相垂直；（2）证明：截面和截面面积之和是定值，并求出这个值；（3）若与平面所成的角,求勤与平面所成角的正弦值．8．（2008上海，16，12分）如图（3），在棱长为2的正方体中，是的中点．求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．9．（2008湖南，17，12分）如图（4）所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，∠，是的中点，⊥底面，（1）证明：平面⊥平面；（2）求平面和平面所成二面角（锐角）的大小．10．（2008·山东高考题）如图（5），已知四棱锥石，底面为菱形，⊥平面，∠
4、，、分别是、的中点．（1）证明：⊥；（2）求二面角的余弦值．11．（2007·山东高考题）如图（6），在直四棱柱中，已知=，⊥，∥．（1）设是的中点，求证：∥平面；（2）求二面角的余弦值．高考真题答案与解析数学（理）【考点14】立体几何的向量方法1．【解析】如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1`（0，2，2），设AC的中点为M，是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是，令z=1，解得x=0，y=1．，设法向量与的夹角为，二面角B1—A1C—C1的大小为，显然为锐角．2．【解法1】(Ⅰ)由题设
5、知，，所以（或其补角）为异面直线与所成的角．设为的中点，连结．因为且，所以且．同理且．又，所以．而，，故，由，得．设，则，，为等边三角形，所以．所以,异面直线与所成的角的大小为．(Ⅱ)因为，且为的中点，所以．连结，因为，且为的中点，所以，又，所以，而，所以平面平面．(Ⅲ)设为的中点,连结．因为,且为的中点,所以．因为,且为的中点,,则．故为二面角的平面角．由(Ⅰ)可得，，．于是在中，．所以，二面角的余弦值为．【解法2】如图,建立空间直角坐标系,点为坐标原点．设，依题意得，．(Ⅰ),于是．所以,异面直线与所成的角的大小为．(Ⅱ)由可得．因此，又，故．而，所以平面平面．(Ⅲ)设平面的法
6、向量为,则于是令,则．又由题设，平面的一个法向量为，所以，．因为二面角为锐角，所以，它的余弦值为．【点评】本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．3．【解析】（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为，又面，，∴．（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，∴，，即，，又，∴平面．（3），，则，设异面直线所成角为，则．4．【解析】（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得．，所以异面
7、直线与所成角的余弦值为．A（2）假设在线段上存在点，使得平面．,可设又．由平面，得即故，此时．经检验，当时，平面．故线段上存在点，使得平面，此时．5．【解】（I）(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足．连接BG、DG．由BD⊥AC,BD⊥CF,得：BD⊥平面ACF，故BD⊥AF．于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角．由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=,OG=．由OB⊥OG,OB=O
