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《历高考理科数学真题目演练分类解析立体几何的向量方法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、【考点14】立体几何的向量方法1.(2009·上海卷·理19)(本题满分14分)如图,在直三棱柱中,,⊥,求二面角的大小.2.(2009·天津卷·理·19)如图,在五面体中,,,为的中点,.(Ⅰ)求异面直线与所成的角的大小;(Ⅱ)证明平面平面;zyxE1G1(Ⅲ)求二面角的余弦值.3.(2009·广东卷·理·18)如图6,已知正方体的棱长为2,点是正方形的中心,点、分别是棱的中点.设点分别是点,在平面内的正投影.(1)求以为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;(2)证明:直线平面;(3)求异面直线所成角的正弦值.4.(2009·福建卷·理·17)如图,四边形ABCD是边
2、长为1的正方形,,,且MD=NB=1,E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由5.(2009·安徽卷·理·18)(本小题满分13分)如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.(I)求二面角B-AF-D的大小;(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.6.(2008江苏,22)如图(1),设动点在棱长为1的正方体的地角线上,记.,当∠为钝角时,求的取值范围.7.(2008辽宁,1
3、9)如图(2),在棱长为1的正方体,(0<<1),截面∥,截面∥(1)证明:平面和平面互相垂直;(2)证明:截面和截面面积之和是定值,并求出这个值;(3)若与平面所成的角,求勤与平面所成角的正弦值.8.(2008上海,16,12分)如图(3),在棱长为2的正方体中,是的中点.求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示).9.(2008湖南,17,12分)如图(4)所示,四棱锥的底面是边长为1的菱形,∠,是的中点,⊥底面,(1)证明:平面⊥平面;(2)求平面和平面所成二面角(锐角)的大小.10.(2008·山东高考题)如图(5),已知四棱锥石,底面为菱形,⊥平面,∠,、分别是、的中点
4、.(1)证明:⊥;(2)求二面角的余弦值.11.(2007·山东高考题)如图(6),在直四棱柱中,已知=,⊥,∥.(1)设是的中点,求证:∥平面;(2)求二面角的余弦值.高考真题答案与解析数学(理)【考点14】立体几何的向量方法1.【解析】如图,建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1`(0,2,2),设AC的中点为M,是平面A1C1C的一个法向量.设平面A1B1C的一个法向量是,令z=1,解得x=0,y=1.,设法向量与的夹角为,二面角B1—A1C—C1的大小为,显然为锐角.2.【解法1】(Ⅰ)由题设知,,所以(或其补角)为
5、异面直线与所成的角.设为的中点,连结.因为且,所以且.同理且.又,所以.而,,故,由,得.设,则,,为等边三角形,所以.所以,异面直线与所成的角的大小为.(Ⅱ)因为,且为的中点,所以.连结,因为,且为的中点,所以,又,所以,而,所以平面平面.(Ⅲ)设为的中点,连结.因为,且为的中点,所以.因为,且为的中点,,则.故为二面角的平面角.由(Ⅰ)可得,,.于是在中,.所以,二面角的余弦值为.【解法2】如图,建立空间直角坐标系,点为坐标原点.设,依题意得,.(Ⅰ),于是.所以,异面直线与所成的角的大小为.(Ⅱ)由可得.因此,又,故.而,所以平面平面.(Ⅲ)设平面的法向量为,则于是令,则.又由题设
6、,平面的一个法向量为,所以,.因为二面角为锐角,所以,它的余弦值为.【点评】本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.3.【解析】(1)依题作点、在平面内的正投影、,则、分别为、的中点,连结、、、,则所求为四棱锥的体积,其底面面积为,又面,,∴.(2)以为坐标原点,、、所在直线分别作轴,轴,轴,得、,又,,,则,,,∴,,即,,又,∴平面.(3),,则,设异面直线所成角为,则.4.【解析】(1)在如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标依题意,得.,所以异面直线与所成角的余弦值为.A(2)假设
7、在线段上存在点,使得平面.,可设又.由平面,得即故,此时.经检验,当时,平面.故线段上存在点,使得平面,此时.5.【解】(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OG⊥AF,G为垂足.连接BG、DG.由BD⊥AC,BD⊥CF,得:BD⊥平面ACF,故BD⊥AF.于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角.由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=,OG=.由OB⊥OG,OB=O