机械振动数值分析

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1、机械振动数值分析主讲：何欢博士工作单位：振动工程研究所电话：8489089913913865435办公室：18楼602Email:hehuan@nuaa.edu.cn参考书目有限单元法，王勖成，清华大学出版社计算动力学，王天舒，清华大学出版社有限元分析的概念与应用，RobetD.Cook，西安交通大学出版社求解域的离散——将连续体求解域离散为若干个子域，通过子域边界协调条件构造连续体；利用近似函数求解——每个子域内用近似函数分片表示全域内待定的未知变量；原问题的等效——利用变分或加权余量法，建立基本变量代数方程组或常微分方程组。概述有限元法要点复杂几

2、何构型的适应性；各种物理问题的可应用性；建立于严格理论基础上的可靠性；适合计算机实现的高效性。有限元法特性单元类型和形式；有限元法的理论基础和离散格式；有限元方程的求解方法；有限元分析程序开发。有限元法的发展和现状标准化——任意复杂问题→模块化分解，单元建模→有限种类模块化单元规范化——几何建模→力学建模→求解→后处理分析通用化——形成标准模块化程序应用规模化、普及性——求解问题规模庞大，易于为工程技术人员掌握有限元法的优势连续性假设——变形体内部处处连续均匀性假设——变形体内部物质分配均匀各向同性假设——物质在各方向上特性相同线弹性假设——变形与外

3、力作用的关系为线性小变形假设——变形量远小于物体本身尺寸基本假设第一章线弹性动力学变分原理运动微分方程应变方程本构方程（物理方程）边界条件初始条件变形体域内任意一点在任意时刻均满足运动微分方程。变形体边界上任意一点在任意时刻均满足边界条件。问题的精确解的特点加权余量法的特点变形体域内和边界上任意一点在任意时刻均近似满足运动微分方程。残余力方程加权余量法允许运动平衡方程和边界条件在若干局部存在残差，但要求残余力在域内和边界上的加权积分为零，即当上式对任意权函数均满足，则称为式（7）为微分方程（1）和边界条件（4）的等效积分形式。一般情况可选择近似解将式

4、（8）代入式（7），通过确定系数强迫残余力在域内和边界上在某种平均意义下为零。下面的讨论中假设近似函数完全满足边界条件，只考虑域内残差问题。权函数可以选N个函数的线性组合，即将式（9）代入式（7），得配点法——取Dirac函数为权函数子域法——权函数在N个子域内取1，在子域外取零，即几类常用权函数最小二乘法——调整近似函数中的参数，使余量均方和最小，即几类常用权函数迦辽金法——取试探函数为权函数迦辽金法的特点几类常用权函数余量方程相当于虚功；求解方程系数矩阵有对称性；当存在泛函时与变分法有等效结果。例1用各种加权余量法计算图示弹性基础梁的挠度弹性基础

5、梁的基本微分方程和边界条件为取试探解为无弹性基础时的精确解则近似解可表示为容易发现，式（16）严格满足边界条件残差方程可写为精确解配点法子域法伽辽金法最小二乘法1.00000.17880.17240.18380.17900.183210.0000.078360.067570.089290.078910.08304100.000.011340.009540.014530.011970.058181000.00.0010250.0009950.0015510.0012620.006068达朗伯—拉格朗日原理在式（7）中取权函数为真实位移的变分，可得与运动

6、微分方程和边界条件的等效积分形式。对方程中的第一项进行分部积分，得式（19）为运动微分方程和边界条件等效积分的“弱”形式阶连续性函数n-1导数连续，且第n阶导数仅有有限个可积间断点的函数哈密顿原理对式（18）在任意时间间隔内积分对给定时刻，方程中的第一项可转化为将式（21）代入式（20），得普遍意义下的哈密顿原理式（22）说明，对真实运动，系统动能变分和内、外力虚功在任意时间间隔内对时间的积分为零。考虑粘滞力后式（23）中考虑了粘滞力的虚功。考虑到应力应变关系，外力虚功可改写为将式（25）代入式（22），可得式（26）说明，完整有势系统在任意时间间隔

7、内满足几何关系和给定位移边界条件的所有可能运动中，真实运动使哈密顿作用量取驻值例2用哈密顿原理推导受均布动载荷的等截面悬臂梁的振动微分方程梁内任意一点位移可表示为任意一点的应变可表示为系统总势能可表示为系统总动能可表示为对系统势能取变分对系统动能取变分代入哈密顿方程得拉格朗日乘子法约束泛函罚函数法引入附加泛函后，原泛函的有附加条件的驻值问题转化为修正泛函无附加约束条件的驻值问题。拉格朗日乘子法修正泛函的变分以离散结构为例，需要满足位移边界条件修正泛函为驻值条件由此得拉格朗日乘子法修正泛函的变分拉格朗日乘子法的特点方程组的阶数增加；拉格朗日乘子有明确物

8、理意义，相当于力；导出的系数矩阵存在零对角元。罚函数法修正泛函的变分仍以离散结构为例，修正泛函为驻值条件由此