方差分析(包括三因素)

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1、方差分析1如某种农作物的收获量受作物品种、肥料种类及数量等的影响；选择不同的品种、肥料种类及数量进行试验，日常生活中经常发现，影响一个事物的因素很多，希望找到影响最显著的因素2看哪一个影响大？并需要知道起显著作用的因素在什么时候起最好的影响作用。方差分析就是解决这些问题的一种有效方法。3因素（因子）——可以控制的试验条件因素的水平——因素所处的状态或等级单（双）因素方差分析——讨论一个（两个）因素对试验结果有没有显著影响。第一节概述4例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影响。序号冲击强力浓度123456A116.215.1

2、15.814.817.115.0A216.817.517.115.918.417.7A319.020.118.918.220.519.7方差分析就是把总的试验数据的波动分成1、反映因素水平改变引起的波动。2、反映随机因素所引起的波动。然后加以比较进行统计判断，得出结论。5方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值的离差平方和分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平交互作用所产生的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认某些因素或交互作用的重要性。用公式概括为：总变异=组间变异+组内变异各因素引起由个体差异引起（误差）种类：常用方差分析法有以下4种1、完全随机设计资料的方差分

3、析（单因素方差分析）2、随机区组设计资料的方差分析（二因素方差分析）3、拉丁方设计资料的方差分析（三因素方差分析）4、R*C析因设计资料的方差分析（有交互因素方差分析）6第二节单因素方差分析一、假设检验设：A1、A2、A3、为三个总体X1、X2、X3，每个总体有6个样本Xi1、Xi2、…、Xi6(i=1,2,3)。注：要判断酸液浓度的3种水平对汗布的冲击强力是否有显著影响，实质上就是检验3种不同水平所对应的3个总体是否有显著差异的问题。即检验3个总体数学期望是否相等。以后就是求解问题，为了说明一般解的公式（方法），如下作一般分析。7一般形式：序号结果水平12………nA1X11X1

4、2………X1nA2X21X22………X2nA3Xm1Xm2………Xmn。。假定：数据满足正态性、独立性、方差齐性。（进行方差分析的条件）要检验因素A对指标是否显著影响，就是检验假设：H0：1=2=…=m接受H0：即认为来自同一总体，差异由随机因素所造成。若拒绝H0：表明它们之间差异显著，差异有因素水平的改变所引起。做法：为了检验假设H0，要从总的误差中将系统误差和随机误差分开。8二、离差平方和的分解与显著检验记：将Q进行分解：由于9故：下面通过比较QE和QA来检验假设H0。在假设H0成立的条件下，可以证明：相互独立10方法：（检验方法）（1）当H0：1=2=…=m成立

5、时。（2）统计量：即：11（3）给定显著性水平，查表得临界值（4）由样本观察值计算出F（5）若F>，则拒绝H0。（说明因素A各水平间有显著性差异）（6）若F，则接受H0。（说明因素A各水平间无显著性差异）三、计算的简化1、对Q、QE、QA计算简化。（给出一个简化的计算公式和数据简化的方法）令：12同样可推出：2、数据的简化：试验数据经过变换数据简化后对F值的计算没有影响，不会影响检验的结果四、方差分析表方差来源离差平方和自由度F值F0.05F0.01显著性因素AQAm-1试验误差QEm(n-1)总误差Qmn-113例：前例题1、对数据的简化得下表：序号冲击强力浓度123456A1

6、-8-19-12-221-20-801454A2-251-1114714396A32031191235271443820由表中数据可算出14计算计算出F值：15方差来源离差平方和自由度F值F0.05F0.01显著性因素A4217.3228.383.686.38**(十分显著）试验误差1114.715总误差533217列表：说明：，说明酸液浓度对汗布冲击强力有十分显著的影响。16五、各水平下试验次数不等时的方差分析设第i个水平试验次数为ni,则有自由度分别为f=n-1,fE=n-m,fA=m-1.检验统计量为式中：17第三节双因素方差分析例如：某厂对生产的高速钢铣刀进行淬火工艺试验

7、，考察回火温度A和淬火温度B两个因素对强度的影响。今对两个因素各3个水平进行试验，得平均硬度见表：BjAi试验结果B1（1210‘C）B2（1235’C）B3（1250‘C）A1（280’C）646668A2（300‘C）666867A3（320’C）656768假设：美中不足组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。所需要解决的问题是：所有Xij的均值是否相等。18假设检验：1）在假设H0成立的条件下。2）统计量3）给定显著水平，查表得临界值4）由样本观察值计算FA、FB5）