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1、递推关系中数列通项的类型题一、等差数列与等比数列公式性质对比表等差数列等比数列1.定义式2.通项公式3.前n项和公式Sn==Sn=4.中项公式an=an=5.任意起点项通项公式an=an=6.通项公式是n的函数通项公式是n的一次函数an=7.前n项和是n的函数前n项和是n的二次函数Sn=8.附标和性质若m+n=p+q,则若m+n=p+q,则若m+n=2p，则若m+n=2p，则9.等距离分离出来的子数列性质10.等距离分段和性质11.线性组合数列12.三个数成等差（比）数列的常见设法13.14.15.任意数列的通项公式(Sn与an的关糸)16.是等差数列，是等比数列，则数列的前n项和的求法
2、：独门绝招8递推关系中数列通项的类型题在有关数列的问题中，有些通项公式是通过递推关系给出的。本文浅淡利用递推关系求数列通项的几种类型，供同学们参考与练习。二、从课本谈起1、等差数列通项公式的推导①an=an-1+d②an－an-1=d=an-2+d+dan-1-an-2=d=an-3+d+2dan-2-an-3=d=a1+(n-1)da2－a1=d+a1=a1这是迭代的思想an=a1+(n-1)d这是叠加的思想2、等比数列通项公式的推导①an=an-1q②=an-2q2=an-3q3=a1qn-1这是迭代的思想×a1=a1an=a1qn-1这是叠乘的思想3、迭代、叠加、叠乘是递推数列通项
3、公式求法的主流思想.课本题(P110)已知数列{an}中，a1=,an=4an-1+1(n≥2),写出它的前4项,并求它的通项公式.方法1(迭代)方法2(叠加)方法3(待定系数)∵an=4an-1+1∴an+=4an-1+1+=4(an-1+)可见数列{an+}是以a1+=为首项,以q=4为公比的等比数列.∴an+=×4n-1又a1=也适合上式,∴an=×4n-1-(!)你知道吗,“”怎么来的?—待定系数法三、题型分类及入手方法1、形如an+1=pan+q(p,q为常数)(1)p=0是常数列.(2)p≠0,q=0,a1≠0,是等比数列.(3)p=1,是等差数列(4)当p≠0、1且q≠0时
4、,用待定系数法.l=(上题中l=)对应练习1、已知数列{an}满足a1=1，an>0,且,求an()2、形如an+1=an+f(n)型（1）若f(n)为常数，即an+1-an=d，此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d，（2）若f(n)为n的函数时，用累加法：①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。2、已知数列{an}中，an>0且sn=(an+)，求数列{an}的通项公式。()解：[评注]已知a1=a
5、,an+1=an+f(n)其中f(n)是关于n的一次函数、二次函数、指数函数或分式函数时，均可通过累加进行转化,进而求出通项.此题也可以用数学归纳法来求解。对应练习3、已知数列{an}满足a1=，an=an-1+(n≥2),求数列{an}的通项公式。()4、已知数列{an}满足关系式且a1=2,求数列{an}的通项公式。(4n-2)3、形如an+1=anf(n)型（1）当f(n)为常数，即=q（其中q是不为0的常数）时，此数列为等比数列,an=a1qn-1（2）当f(n)为n的函数时，用累乘法。5、已知an+1=nan+n-1,a1>-1，求数列{an}的通项公式。解：(a1+1)(n-
6、1)!-1[评注]解本题的关键是把原来的递推关系式an+1=nan+n-1,转化为an+1+1=n(an+1),若令bn=an+1则问题进一步转化为bn+1=nbn的形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式。对应练习6、已知数列{an}的a1=a,且nan+1=(n+1)an,求an.(an=na)4、形如an+1+an=f(n)型（1）若f(n)为常数，即an+1+an=q/（q为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数来讨论。（2）若f(n)为n的函数（非常数），可通过构造转化为an+1-an=f(n)型，通过累加来求出通项；或用逐差法（两式相减）
7、得an+1-an-1=f(n)-f(n-1)，分奇偶项求通项。7、数列{an}满足a1=0,an+1+an=2n，求数列{an}的通项公式。(n为奇数)(n为偶数)对应练习8、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后面一项之和都为同一个常数,这个常数叫“公和”,那么这个数列叫做等和数列.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18=;这个数列的前21项和S21=这个数列的前n项和Sn=3．52、Sn=5．形
